ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1349 Алимов — Подробные Ответы

1. 3^2x — 3x=72;
2. 4x — 2^(x+1) -48.

1. $3^{2x} — 3^x = 72$;
   $3^{2x} — 3^x = 81 — 9$;
   $3^{2x} — 3^x = 3^4 — 3^2$;
   $3^x \cdot (3^x — 3^0) = 3^2 \cdot (3^2 — 3^0)$;
   Ответ: $x = 2$.
2. $4^x — 2^{x+1} = 48$;
   $(2^2)^x — 2^{x+1} = 64 — 16$;
   $2^{2x} — 2^{x+1} = 2^6 — 2^4$;
   $2^x \cdot (2^x — 2^1) = 2^3 \cdot (2^3 — 2^1)$;
   Ответ: $x = 3$.

1. Решение уравнения:

$$3^{2x} — 3^x = 72$$

Шаг 1. Замена переменной.

Для упрощения уравнения введем замену: $y = 3^x$. Тогда $3^{2x} = y^2$, и уравнение примет вид:

$$y^2 — y = 72$$

Шаг 2. Преобразуем уравнение.

Теперь у нас квадратичное уравнение:

$$y^2 — y — 72 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение.

Для решения квадратного уравнения используем формулу для нахождения корней:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

Для уравнения $y^2 — y — 72 = 0$, $a = 1$, $b = -1$, $c = -72$. Подставим эти значения в формулу:

$$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-72)}}{2 \cdot 1}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2}$$ $$y = \frac{1 \pm 17}{2}$$

Получаем два возможных значения для $y$:

$$y_1 = \frac{1 + 17}{2} = 9, \quad y_2 = \frac{1 — 17}{2} = -8$$

Шаг 4. Вернемся к $x$.

Поскольку $y = 3^x$, подставим полученные значения $y$:

1. $3^x = 9$, отсюда $x = 2$.
2. $3^x = -8$ — это решение невозможно, так как степень числа 3 не может быть отрицательной для действительного $x$.

Таким образом, решение $x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

2. Решение уравнения:

$$4^x — 2^{x+1} = 48$$

Шаг 1. Перепишем уравнение через степень 2.

Заменим $4^x$ как $(2^2)^x = 2^{2x}$. Уравнение примет вид:

$$2^{2x} — 2^{x+1} = 48$$

Шаг 2. Преобразуем уравнение.

Мы можем вынести $2^x$ за скобки. Для этого представим $2^{2x} = 2^x \cdot 2^x$, и уравнение станет:

$$2^x \cdot (2^x — 2) = 48$$

Шаг 3. Подставим значения для удобства.

Теперь попробуем подставить несколько значений $x$, чтобы найти решение.

Подставим $x = 3$:

$$2^3 \cdot (2^3 — 2) = 8 \cdot (8 — 2) = 8 \cdot 6 = 48$$

Это правильное решение, так как правая часть уравнения равна 48.

Ответ: $x = 3$.

Итоговые ответы:

1. $x = 2$
2. $x = 3$