ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1348 Алимов — Подробные Ответы

1. 5^(x+1)+ 5x + 5^(x-1)=155;
2. 3^2x — 2*3^(2x-1) — 2* 3^(2x-2) =1;
3. 7x- 7^(x-1)-6;
4. 3^(x+2) +3x=10.

1. $5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 155$;
   $5^x \cdot (5^1 + 5^0 + 5^{-1}) = 155$;
   $5^x \cdot \left(5 + 1 + \frac{1}{5}\right) = 155$;
   $5^x \cdot \frac{25 + 5 + 1}{5} = 155$;
   $5^x \cdot \frac{31}{5} = 155$;
   $5^x = 25$;
   $5^x = 5^2$, отсюда $x = 2$;
   Ответ: $x = 2$.
2. $3^{2x} — 2 \cdot 3^{2x-1} — 2 \cdot 3^{2x-2} = 1$;
   $3^{2x} \cdot (3^0 — 2 \cdot 3^{-1} — 2 \cdot 3^{-2}) = 1$;
   $3^{2x} \cdot \left(1 — \frac{2}{3} — \frac{2}{9}\right) = 1$;
   $3^{2x} \cdot \frac{9 — 6 — 2}{9} = 1$;
   $3^{2x} \cdot \frac{1}{9} = 1$;
   $3^{2x} = 9$;
   $3^{2x} = 3^2$, отсюда $2x = 2$, отсюда $x = 1$;
   Ответ: $x = 1$.
3. $7^x — 7^{x-1} = 6$;
   $7^x \cdot (7^0 — 7^{-1}) = 6$;
   $7^x \cdot \left(1 — \frac{1}{7}\right) = 6$;
   $7^x \cdot \frac{6}{7} = 6$;
   $7^x = 7$, отсюда $x = 1$;
   Ответ: $x = 1$.
4. $3^{x+2} + 3^x = 10$;
   $3^x \cdot (3^2 + 3^0) = 10$;
   $3^x \cdot (9 + 1) = 10$;
   $3^x \cdot 10 = 10$;
   $3^x = 1$;
   $3^x = 3^0$, отсюда $x = 0$;
   Ответ: $x = 0$.

1. Решение уравнения:

$$5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 155$$

Шаг 1. Перепишем уравнение, вынеся $5^x$ за скобки.

Для удобства решим уравнение, вынеся $5^x$ за скобки. Используем правило степеней: $5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1$, $5^{x-1} = 5^x \cdot 5^{-1}$.

Уравнение можно записать так:

$$5^x \cdot (5^1 + 5^0 + 5^{-1}) = 155$$

Шаг 2. Упростим выражение в скобках.

Внутри скобок у нас выражения с числами, которые можно упростить:

$$5^1 = 5, \quad 5^0 = 1, \quad 5^{-1} = \frac{1}{5}$$

Теперь у нас:

$$5^x \cdot (5 + 1 + \frac{1}{5}) = 155$$

Шаг 3. Приведем дроби к общему знаменателю.

Чтобы сложить $5 + 1 + \frac{1}{5}$, найдем общий знаменатель. Для $5 + 1$ это $6$, а $\frac{1}{5}$ остается без изменений. Приведем их к общему знаменателю:

$$5 + 1 + \frac{1}{5} = \frac{25}{5} + \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{31}{5}$$

Теперь у нас:

$$5^x \cdot \frac{31}{5} = 155$$

Шаг 4. Упростим уравнение.

Теперь умножим обе стороны уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$$5^x \cdot 31 = 155 \cdot 5$$ $$5^x \cdot 31 = 775$$

Теперь разделим обе стороны на 31:

$$5^x = \frac{775}{31} = 25$$

Шаг 5. Решим уравнение для $x$.

Теперь $5^x = 25$, и мы знаем, что $25 = 5^2$. Таким образом, у нас:

$$5^x = 5^2$$

Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$x = 2$$

Ответ: $x = 2$.

2. Решение уравнения:

$$3^{2x} — 2 \cdot 3^{2x-1} — 2 \cdot 3^{2x-2} = 1$$

Шаг 1. Перепишем уравнение, выделив общую степень.

Начнем с того, что все элементы уравнения имеют степень $3^{2x}$, $3^{2x-1}$, и $3^{2x-2}$. Попробуем выразить их через степень $3^{2x}$.

Применим свойства степеней:

$$3^{2x-1} = 3^{2x} \cdot 3^{-1}, \quad 3^{2x-2} = 3^{2x} \cdot 3^{-2}$$

Теперь перепишем уравнение:

$$3^{2x} — 2 \cdot 3^{2x} \cdot 3^{-1} — 2 \cdot 3^{2x} \cdot 3^{-2} = 1$$

Шаг 2. Вынесем $3^{2x}$ за скобки.

Вынесем $3^{2x}$ за скобки:

$$3^{2x} \cdot \left( 1 — 2 \cdot 3^{-1} — 2 \cdot 3^{-2} \right) = 1$$

Шаг 3. Упростим выражение в скобках.

Теперь упростим выражение в скобках, учитывая значения степеней:

$$3^{-1} = \frac{1}{3}, \quad 3^{-2} = \frac{1}{9}$$

Подставим эти значения:

$$1 — 2 \cdot \frac{1}{3} — 2 \cdot \frac{1}{9}$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 9 — это 9:

$$1 — 2 \cdot \frac{1}{3} — 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 — \frac{6}{9} — \frac{2}{9} = 1 — \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$$

Теперь у нас:

$$3^{2x} \cdot \frac{1}{9} = 1$$

Шаг 4. Упростим уравнение.

Умножим обе стороны на 9:

$$3^{2x} = 9$$

Шаг 5. Решим уравнение для $x$.

Заменим 9 на $3^2$, получаем:

$$3^{2x} = 3^2$$

Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$2x = 2$$

Решаем для $x$:

$$x = 1$$

Ответ: $x = 1$.

3. Решение уравнения:

$$7^x — 7^{x-1} = 6$$

Шаг 1. Вынесем $7^{x-1}$ за скобки.

Применяем правила степеней:

$$7^x = 7^{x-1} \cdot 7$$

Теперь уравнение можно переписать как:

$$7^{x-1} \cdot 7 — 7^{x-1} = 6$$

Шаг 2. Вынесем $7^{x-1}$ за скобки.

Вынесем $7^{x-1}$ за скобки:

$$7^{x-1} \cdot (7 — 1) = 6$$

Упростим:

$$7^{x-1} \cdot 6 = 6$$

Шаг 3. Упростим уравнение.

Теперь разделим обе стороны на 6:

$$7^{x-1} = 1$$

Шаг 4. Решим уравнение для $x$.

Поскольку $7^0 = 1$, приравниваем показатель степени к 0:

$$x — 1 = 0$$

Решаем для $x$:

$$x = 1$$

Ответ: $x = 1$.

4. Решение уравнения:

$$3^{x+2} + 3^x = 10$$

Шаг 1. Вынесем $3^x$ за скобки.

Используем правило степени:

$$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2$$

Теперь уравнение становится:

$$3^x \cdot (9 + 1) = 10$$

Шаг 2. Упростим уравнение.

Теперь у нас:

$$3^x \cdot 10 = 10$$

Шаг 3. Разделим обе стороны на 10.

$$3^x = 1$$

Шаг 4. Решим уравнение для $x$.

Поскольку $3^0 = 1$, приравниваем показатель степени к 0:

$$x = 0$$

Ответ: $x = 0$.

Итоговые ответы:

1. $x = 2$
2. $x = 1$
3. $x = 1$
4. $x = 0$