ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1347 Алимов — Подробные Ответы

1. (4/9)x*(27/8)^(x-1) =2/3;
2. корень 3 степени 2x * корень 3 степени 3x=216.

1) $\left( \frac{4}{9} \right)^x \cdot \left( \frac{27}{8} \right)^{x-1} = \frac{2}{3}$;

$$\left( \frac{2^2}{3^2} \right)^x \cdot \left( \frac{3^3}{2^3} \right)^{x-1} = \frac{2}{3};$$ $$\left( \frac{2}{3} \right)^{2x} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3(x-1)} = \frac{2}{3};$$ $$2x — 3(x-1) = 1;$$ $$2x — 3x + 3 = 1;$$ $$-x = -2, \text{отсюда } x = 2.$$

Ответ: $x = 2$.

2) $\sqrt[3]{2^x} \cdot \sqrt[3]{3^x} = 216$;

$$2^{\frac{x}{3}} \cdot 3^{\frac{x}{3}} = 6^3;$$ $$\left( 2 \cdot 3 \right)^{\frac{x}{3}} = 6^3;$$ $$6^{\frac{x}{3}} = 6^3;$$ $$\frac{x}{3} = 3, \text{отсюда } x = 9.$$

Ответ: $x = 9$.

1. Решение уравнения:

$${\left(\frac{4}{9}\right)}^x\cdot {\left(\frac{27}{8}\right)}^{x-1}=\frac{2}{3}$$

Шаг 1. Перепишем каждое основание через степени 2 и 3.

Начнем с того, что можем переписать $\frac{4}{9}$ и $\frac{27}{8}$ через степени 2 и 3:

$$\frac{4}{9}=\frac{2^2}{3^2},\frac{27}{8}=\frac{3^3}{2^3}$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$${\left(\frac{2^2}{3^2}\right)}^x\cdot {\left(\frac{3^3}{2^3}\right)}^{x-1}=\frac{2}{3}$$

Шаг 2. Упростим степени.

Используем правило степени, что ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$, и упростим выражения:

$${\left(\frac{2^2}{3^2}\right)}^x={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x},{\left(\frac{3^3}{2^3}\right)}^{x-1}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3(x-1)}$$

Теперь уравнение примет вид:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3(x-1)}=\frac{2}{3}$$

Шаг 3. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием.

Теперь мы видим, что у нас произведение степеней с одинаковым основанием $\frac{2}{3}$. По правилу $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, можем сложить показатели степеней:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3(x-1)}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x-3(x-1)}$$

Раскроем скобки в показателе:

$$2x-3(x-1)=2x-3x+3=-x+3$$

Теперь уравнение выглядит так:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-x+3}=\frac{2}{3}$$

Шаг 4. Приравняем показатели степеней.

Поскольку основание одинаковое, приравниваем показатели степеней:

$$-x+3=1$$

Шаг 5. Решим уравнение для $x$.

Переносим все элементы на одну сторону:

$$-x=1-3$$$$-x=-2$$

Умножаем обе стороны на -1:

$$x=2$$

Ответ: $x=2$.

2. Решение уравнения:

$$\sqrt[3]{2^x}\cdot \sqrt[3]{3^x}=216$$

Шаг 1. Перепишем корни как степени.

Корень $\sqrt[3]{a}$ можно записать как степень $a^{1\mathrm{/}3}$, поэтому:

$$\sqrt[3]{2^x}=2^{\frac{x}{3}},\sqrt[3]{3^x}=3^{\frac{x}{3}}$$

Теперь уравнение становится:

$$2^{\frac{x}{3}}\cdot 3^{\frac{x}{3}}=216$$

Шаг 2. Упростим левую часть уравнения.

На левой стороне у нас произведение степеней с одинаковым показателем $\frac{x}{3}$, поэтому можем вынести этот показатель за скобки:

$${(2\cdot 3)}^{\frac{x}{3}}=216$$

Поскольку $2\cdot 3=6$, получаем:

$$6^{\frac{x}{3}}=216$$

Шаг 3. Запишем 216 как степень 6.

Заметим, что $216=6^3$, поэтому уравнение становится:

$$6^{\frac{x}{3}}=6^3$$

Шаг 4. Приравняем показатели степеней.

Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$\frac{x}{3}=3$$

Шаг 5. Решим уравнение для $x$.

Умножаем обе стороны на 3:

$$x=9$$

Ответ: $x=9$.

Итоговые ответы:

1. $x=2$
2. $x=9$