ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1325 Алимов — Подробные Ответы

1. $\frac{3}{x+3} — \frac{2}{x-3} = \frac{4}{x^2-9}$;
2. $\frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{x^2-6x+8}$

1) $\frac{3}{x+3} — \frac{2}{x-3} = \frac{4}{x^2-9}$;

$$\frac{3}{x+3} — \frac{2}{x-3} = \frac{4}{(x-3)(x+3)} \quad | \cdot (x-3)(x+3);$$ $$3(x-3) — 2(x+3) = 4;$$ $$3x — 9 — 2x — 6 = 4;$$ $$x — 15 = 4, \text{ отсюда } x = 19;$$

Ответ: $x = 19$.

2) $\frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{x^2-6x+8}$;

Разложим многочлен в правой части на множители:

$$x^2 — 6x + 8 = 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;$$ $$(x-2)(x-4) = 0;$$

Получим уравнение:

$$\frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{(x-2)(x-4)} \quad | \cdot (x-2)(x-4);$$ $$5(x-4) + 2(x-2) = 11;$$ $$5x — 20 + 2x — 4 = 11;$$ $$7x — 24 = 11;$$ $$7x = 35, \text{ отсюда } x = 5;$$

Ответ: $x = 5$.

Уравнение 1: $\frac{3}{x+3} — \frac{2}{x-3} = \frac{4}{x^2-9}$

Исходное уравнение:

$$\frac{3}{x+3} — \frac{2}{x-3} = \frac{4}{x^2-9}$$

Заметили, что $x^2 — 9$ можно разложить как разность квадратов:

$$x^2 — 9 = (x+3)(x-3)$$

Тогда уравнение примет вид:

$$\frac{3}{x+3} — \frac{2}{x-3} = \frac{4}{(x+3)(x-3)}$$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+3)(x-3)$, чтобы избавиться от дробей.

Для этого умножаем каждое слагаемое на $(x+3)(x-3)$:

$$\left( \frac{3}{x+3} \right) \cdot (x+3)(x-3) — \left( \frac{2}{x-3} \right) \cdot (x+3)(x-3) = \left( \frac{4}{(x+3)(x-3)} \right) \cdot (x+3)(x-3)$$

Сокращаем дроби и упрощаем выражение:

$$3(x-3) — 2(x+3) = 4$$

Раскроем скобки:

$$3(x-3) = 3x — 9$$ $$-2(x+3) = -2x — 6$$

Таким образом уравнение будет:

$$3x — 9 — 2x — 6 = 4$$

Собираем подобные слагаемые:

$$3x — 2x = x, \quad -9 — 6 = -15$$

Получаем:

$$x — 15 = 4$$

Решаем полученное линейное уравнение:

$$x = 4 + 15$$ $$x = 19$$

Ответ: $x = 19$

Уравнение 2: $\frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{x^2-6x+8}$

Исходное уравнение:

$$\frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{x^2-6x+8}$$

Разложим многочлен в правой части уравнения на множители.

Для этого нам нужно решить квадратное уравнение:

$$x^2 — 6x + 8 = 0$$

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

Таким образом, мы можем записать:

$$x^2 — 6x + 8 = (x-2)(x-4)$$

Теперь уравнение принимает вид:

$$\frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{(x-2)(x-4)}$$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x-4)$:

$$\left( \frac{5}{x-2} \right) \cdot (x-2)(x-4) + \left( \frac{2}{x-4} \right) \cdot (x-2)(x-4) = \left( \frac{11}{(x-2)(x-4)} \right) \cdot (x-2)(x-4)$$

Сокращаем дроби и упрощаем выражение:

$$5(x-4) + 2(x-2) = 11$$

Раскроем скобки:

$$5(x-4) = 5x — 20$$ $$2(x-2) = 2x — 4$$

Таким образом, уравнение будет:

$$5x — 20 + 2x — 4 = 11$$

Собираем подобные слагаемые:

$$5x + 2x = 7x, \quad -20 — 4 = -24$$

Получаем:

$$7x — 24 = 11$$

Решаем полученное линейное уравнение:

$$7x = 11 + 24$$ $$7x = 35$$ $$x = \frac{35}{7}$$ $$x = 5$$

Ответ: $x = 5$

Итоги:

1. Для первого уравнения ответ: $x = 19$.
2. Для второго уравнения ответ: $x = 5$.