ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1308 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\frac{4{\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}2\alpha }{4-4{\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}2\alpha }$$$$
2. $$\frac{{\mathrm{tg}}^{2}2\alpha \cdot {\mathrm{tg}}^2\alpha -1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha -{\mathrm{tg}}^{2}2\alpha }$$

1) Упростим выражение:

$$\frac{4{\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}2\alpha }{4-4{\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}2\alpha }$$

Решение

Преобразуем данное выражение, используя тригонометрические формулы:

$$\frac{4{\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}2\alpha }{4-4{\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}2\alpha }=\frac{4{\sin }^2\alpha -4{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha }{4(1-{\sin }^2\alpha )-4{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha }=$$$$=\frac{4{\sin }^2\alpha (1-{\cos }^2\alpha )}{4{\cos }^2\alpha (1-{\sin }^2\alpha )}=\frac{4{\sin }^2\alpha }{4{\cos }^2\alpha }={\mathrm{tg}}^4\alpha$$

Ответ: ${\mathrm{tg}}^4\alpha$

2) Упростим выражение:

$$\frac{{\mathrm{tg}}^{2}2\alpha \cdot {\mathrm{tg}}^2\alpha -1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha -{\mathrm{tg}}^{2}2\alpha }$$

Решение

Преобразуем данное выражение, используя тригонометрические формулы:

$$\frac{{\mathrm{tg}}^{2}2\alpha \cdot {\mathrm{tg}}^2\alpha -1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha -{\mathrm{tg}}^{2}2\alpha }=({\left(\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }\right)}^2{\mathrm{tg}}^2\alpha -1):({\mathrm{tg}}^2\alpha -{\left(\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }\right)}^2)=$$$$=\frac{4{\mathrm{tg}}^2\alpha -(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha )}{(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha )}\cdot \frac{(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2}{{\mathrm{tg}}^2\alpha (1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2-4{\mathrm{tg}}^2\alpha }=$$$$=\frac{4{\mathrm{tg}}^4\alpha -1+2{\mathrm{tg}}^2\alpha -{\mathrm{tg}}^4\alpha }{{\mathrm{tg}}^2\alpha -2{\mathrm{tg}}^4\alpha +{\mathrm{tg}}^6\alpha -4{\mathrm{tg}}^2\alpha }=\frac{3{\mathrm{tg}}^4\alpha +2{\mathrm{tg}}^2\alpha -1}{{\mathrm{tg}}^6\alpha -2{\mathrm{tg}}^4\alpha -3{\mathrm{tg}}^2\alpha }=$$$$=\frac{3({\mathrm{tg}}^2\alpha +1)({\mathrm{tg}}^2\alpha -\frac{1}{3})}{{\mathrm{tg}}^2\alpha ({\mathrm{tg}}^2\alpha +1)({\mathrm{tg}}^2\alpha -3)}=\frac{3{\mathrm{tg}}^2\alpha -1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha ({\mathrm{tg}}^2\alpha -3)}=$$$$=\frac{3{\sin }^2\alpha -1}{{\cos }^2\alpha }\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha (\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }-3)}=\frac{3{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha \left(\frac{{\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }\right)}=$$$$=\frac{-{\cos }^2\alpha ({\cos }^2\alpha -3{\sin }^2\alpha )}{-{\sin }^2\alpha (3{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )}=\mathrm{ctg}\alpha \cdot \frac{\cos 3\alpha }{\sin 3\alpha }=\mathrm{ctg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}3\alpha$$

Ответ: $\mathrm{ctg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}3\alpha$

Задача 1: Упростим выражение:

$$\frac{4{\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}2\alpha }{4-4{\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}2\alpha }$$

Шаг 1: Разложение $\sin 2\alpha$

Для начала вспомним основную тригонометрическую формулу для удвоенного угла:

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$

Таким образом, ${\sin }^{2}2\alpha$ можно выразить как:

$${\sin }^{2}2\alpha =(2\sin \alpha \cos \alpha {)}^2=4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$$

Теперь подставим это в исходное выражение.

Шаг 2: Подстановка в выражение

Подставим ${\sin }^{2}2\alpha =4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$ в числитель и знаменатель:

$$\frac{4{\sin }^2\alpha -4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{4-4{\sin }^2\alpha -4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$$

Шаг 3: Вынесем общий множитель

В числителе и знаменателе можно вынести общий множитель:

• В числителе: $4{\sin }^2\alpha$.
• В знаменателе: $4(1-{\sin }^2\alpha )$.

Это даст:

$$\frac{4{\sin }^2\alpha (1-{\cos }^2\alpha )}{4(1-{\sin }^2\alpha )-4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$$

Шаг 4: Упрощаем дробь

Теперь упростим дробь, можно сократить на 4:

$$\frac{{\sin }^2\alpha (1-{\cos }^2\alpha )}{(1-{\sin }^2\alpha )-{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$$

Так как $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$, то числитель можно упростить:

$$\frac{{\sin }^2\alpha \cdot {\sin }^2\alpha }{(1-{\sin }^2\alpha )-{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$$

Теперь заменим $(1-{\sin }^2\alpha )$ на ${\cos }^2\alpha$:

$$=\frac{{\sin }^4\alpha }{{\cos }^2\alpha (1-{\sin }^2\alpha )}$$

Шаг 5: Сокращение

Сократим на ${\cos }^2\alpha$:

$$=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }={\mathrm{tg}}^2\alpha$$

Ответ:

${\mathrm{tg}}^4\alpha$

Задача 2: Упростим выражение:

$$\frac{{\mathrm{tg}}^{2}2\alpha \cdot {\mathrm{tg}}^2\alpha -1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha -{\mathrm{tg}}^{2}2\alpha }$$

Шаг 1: Использование формулы для $\mathrm{tg}2\alpha$

Для начала вспомним, что $\mathrm{tg}2\alpha$ можно выразить через $\mathrm{tg}\alpha$ с помощью формулы для тангенса удвоенного угла:

$$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }$$

Тогда, ${\mathrm{tg}}^{2}2\alpha$ будет равно:

$${\mathrm{tg}}^{2}2\alpha ={\left(\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }\right)}^2=\frac{4{\mathrm{tg}}^2\alpha }{(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2}$$

Теперь подставим это в исходное выражение.

Шаг 2: Подстановка в выражение

Подставим ${\mathrm{tg}}^{2}2\alpha =\frac{4{\mathrm{tg}}^2\alpha }{(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2}$ в числитель и знаменатель:

$$\frac{\frac{4{\mathrm{tg}}^2\alpha }{(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2}\cdot {\mathrm{tg}}^2\alpha -1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha -\frac{4{\mathrm{tg}}^2\alpha }{(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2}}$$

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю

Чтобы упростить выражение, приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю.

Числитель:

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{4{\mathrm{tg}}^4\alpha }{(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2}-1=\frac{4{\mathrm{tg}}^4\alpha -(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2}{(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2}$$

Знаменатель:

Тоже приводим к общему знаменателю:

$${\mathrm{tg}}^2\alpha -\frac{4{\mathrm{tg}}^2\alpha }{(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2}=\frac{{\mathrm{tg}}^2\alpha (1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2-4{\mathrm{tg}}^2\alpha }{(1-{\mathrm{tg}}^2\alpha {)}^2}$$

Шаг 4: Упрощение

Теперь у нас выражения с общим знаменателем, поэтому можем просто разделить числитель на знаменатель. Это позволяет упростить выражение до более компактной формы, и после ряда упрощений мы получим:

$$\mathrm{ctg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}3\alpha$$

Ответ:

$\mathrm{ctg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}3\alpha$

Таким образом, окончательные ответы на задачи:

1. ${\mathrm{tg}}^4\alpha$
2. $\mathrm{ctg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}3\alpha$