ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1288 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\frac{1+{\mathrm{tg}}^{2}a}{1+{\mathrm{ctg}}^{2}a}$$$$$$
2. $$(1+\mathrm{tg}a)(1+\mathrm{ctg}a)-\frac{1}{\sin a\cdot \cos a}$$

1)

$$\frac{1+{\mathrm{tg}}^{2}a}{1+{\mathrm{ctg}}^{2}a}=(1+{\mathrm{tg}}^{2}a):(1+\frac{1}{{\mathrm{tg}}^{2}a})=(1+{\mathrm{tg}}^{2}a):\left(\frac{{\mathrm{tg}}^{2}a+1}{{\mathrm{tg}}^{2}a}\right)=$$$$=(1+{\mathrm{tg}}^{2}a)\cdot \frac{{\mathrm{tg}}^{2}a}{{\mathrm{tg}}^{2}a+1}={\mathrm{tg}}^{2}a;$$

Ответ: ${\mathrm{tg}}^{2}a$.

2)

$$(1+\mathrm{tg}a)(1+\mathrm{ctg}a)-\frac{1}{\sin a\cdot \cos a}=$$$$=(1+\frac{\sin a}{\cos a})(1+\frac{\cos a}{\sin a})-\frac{1}{\sin a\cdot \cos a}=$$$$=\frac{\cos a+\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\sin a+\cos a}{\sin a}-\frac{1}{\sin a\cdot \cos a}=\frac{(\sin a+\cos a{)}^2-1}{\sin a\cdot \cos a}=$$$$=\frac{{\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+2\sin a\cdot \cos a-1}{\sin a\cdot \cos a}=\frac{1+2\sin a\cdot \cos a-1}{\sin a\cdot \cos a}=2;$$

Ответ: 2.

Задание 1:

$$\frac{1+{\mathrm{tg}}^{2}a}{1+{\mathrm{ctg}}^{2}a}$$

Шаг 1: Преобразуем знаменатель

Для начала вспомним, что $\mathrm{ctg}a=\frac{1}{\mathrm{tg}a}$. Тогда ${\mathrm{ctg}}^{2}a=\frac{1}{{\mathrm{tg}}^{2}a}$. Подставим это в знаменатель:

$$\frac{1+{\mathrm{tg}}^{2}a}{1+{\mathrm{ctg}}^{2}a}=\frac{1+{\mathrm{tg}}^{2}a}{1+\frac{1}{{\mathrm{tg}}^{2}a}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель в дробь

Далее преобразуем выражение во втором слагаемом знаменателя:

$$1+\frac{1}{{\mathrm{tg}}^{2}a}=\frac{{\mathrm{tg}}^{2}a+1}{{\mathrm{tg}}^{2}a}\mathrm{.}$$

Теперь выражение становится:

$$\frac{1+{\mathrm{tg}}^{2}a}{\frac{{\mathrm{tg}}^{2}a+1}{{\mathrm{tg}}^{2}a}}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Умножение на обратную величину

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на ${\mathrm{tg}}^{2}a$:

$$=(1+{\mathrm{tg}}^{2}a)\cdot \frac{{\mathrm{tg}}^{2}a}{{\mathrm{tg}}^{2}a+1}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Упростим выражение

Теперь заметим, что числитель и знаменатель имеют одинаковые слагаемые: $1+{\mathrm{tg}}^{2}a$ и ${\mathrm{tg}}^{2}a+1$. То есть они одинаковы, и мы можем их сократить:

$$={\mathrm{tg}}^{2}a\mathrm{.}$$

Ответ для первого задания:

$${\mathrm{tg}}^{2}a\mathrm{.}$$

Задание 2:

$$(1+\mathrm{tg}a)(1+\mathrm{ctg}a)-\frac{1}{\sin a\cdot \cos a}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Разложим произведение

Для начала раскроем скобки в произведении:

$$(1+\mathrm{tg}a)(1+\mathrm{ctg}a)=1+\mathrm{tg}a+\mathrm{ctg}a+\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{ctg}a\mathrm{.}$$

Шаг 2: Используем связи между тангенсом и котангенсом

Напомним, что $\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}$ и $\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}$. Подставим эти выражения в полученное произведение:

$$1+\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}+\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}\mathrm{.}$$

Теперь упростим последний член $\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}=1$. Таким образом, выражение становится:

$$1+\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}+1=2+\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Преобразуем выражение

Теперь рассмотрим разность:

$$(1+\mathrm{tg}a)(1+\mathrm{ctg}a)-\frac{1}{\sin a\cdot \cos a}=2+\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{1}{\sin a\cdot \cos a}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Приводим к общему знаменателю

Чтобы сложить эти выражения, приведем их к общему знаменателю. Для этого у нас есть общий знаменатель $\sin a\cdot \cos a$. Преобразуем каждое слагаемое:

$$2=\frac{2\sin a\cdot \cos a}{\sin a\cdot \cos a},$$$$\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{{\sin }^{2}a}{\sin a\cdot \cos a},$$$$\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{{\cos }^{2}a}{\sin a\cdot \cos a}\mathrm{.}$$

Теперь подставим все выражения в одну дробь:

$$\frac{2\sin a\cdot \cos a}{\sin a\cdot \cos a}+\frac{{\sin }^{2}a}{\sin a\cdot \cos a}+\frac{{\cos }^{2}a}{\sin a\cdot \cos a}-\frac{1}{\sin a\cdot \cos a}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Упростим числитель

Складываем все члены числителя:

$$=\frac{2\sin a\cdot \cos a+{\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a-1}{\sin a\cdot \cos a}\mathrm{.}$$

Заменяем ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$:

$$=\frac{2\sin a\cdot \cos a+1-1}{\sin a\cdot \cos a}=\frac{2\sin a\cdot \cos a}{\sin a\cdot \cos a}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Упростим выражение

Мы видим, что числитель и знаменатель одинаковы, так что можно их сократить:

$$=2.$$

Ответ для второго задания:

$$2.$$

Окончательные ответы:

1. ${\mathrm{tg}}^{2}a$,
2. $2$.