ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1279 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\frac{4+4\sqrt{a}}{}-\frac{1}{2-2a}+\frac{1}{4-4\sqrt{a}}$$
2. $$\frac{a\sqrt{2}+a-\sqrt{2}-1}{a\sqrt{2}-2-\sqrt{2}+2a}$$

1)

$$\frac{1}{4+4\sqrt{a}}-\frac{1}{2-2a}+\frac{1}{4-4\sqrt{a}}=\frac{1}{4(1+\sqrt{a})}-\frac{1}{2(1-a)}+\frac{1}{4(1-\sqrt{a})}=$$$$=\frac{1}{4(1+\sqrt{a})}-\frac{1}{2(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}+\frac{1}{4(1-\sqrt{a})}=$$$$=\frac{(1-\sqrt{a})-2+(1+\sqrt{a})}{4(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}=\frac{1-\sqrt{a}-2+1+\sqrt{a}}{4(1-a)}=\frac{0}{4(1-a)}=0;$$

Ответ: $0$.

2)

$$\frac{a\sqrt{2}+a-\sqrt{2}-1}{a\sqrt{2}-2-\sqrt{2}+2a}=\frac{a(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}(a-1)+2(a-1)}=\frac{(a-1)(\sqrt{2}+1)}{(a-1)(\sqrt{2}+2)}=$$$$=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}=\frac{(\sqrt{2}+1)(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{2}-2+2-\sqrt{2}}{4-2}=\frac{\sqrt{2}}{2};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. Задание:

$$\frac{1}{4+4\sqrt{a}}-\frac{1}{2-2a}+\frac{1}{4-4\sqrt{a}}$$

Шаг 1: Приведем каждую дробь к более удобной форме.

1. Первая дробь:$$\frac{1}{4+4\sqrt{a}}$$

   Выносим общий множитель $4$ из знаменателя:

   $$\frac{1}{4(1+\sqrt{a})}$$

   Получили первую дробь в виде:

   $$\frac{1}{4(1+\sqrt{a})}$$

2. Вторая дробь:$$\frac{1}{2-2a}$$

   Выносим общий множитель $2$ из знаменателя:

   $$\frac{1}{2(1-a)}$$

   Получили вторую дробь в виде:

   $$\frac{1}{2(1-a)}$$

3. Третья дробь:$$\frac{1}{4-4\sqrt{a}}$$

   Выносим общий множитель $4$ из знаменателя:

   $$\frac{1}{4(1-\sqrt{a})}$$

   Получили третью дробь в виде:

   $$\frac{1}{4(1-\sqrt{a})}$$

Шаг 2: Объединяем все дроби в одно выражение:

Теперь наше выражение выглядит так:

$$\frac{1}{4(1+\sqrt{a})}-\frac{1}{2(1-a)}+\frac{1}{4(1-\sqrt{a})}$$

Шаг 3: Приводим вторую дробь к общему знаменателю с первой и третьей.

Для этого разложим $2(1-a)$ в знаменателе второй дроби:

$$2(1-a)=2(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})$$

Таким образом, вторая дробь преобразуется к виду:

$$\frac{1}{2(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}$$

Теперь выражение принимает следующий вид:

$$\frac{1}{4(1+\sqrt{a})}-\frac{1}{2(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}+\frac{1}{4(1-\sqrt{a})}$$

Шаг 4: Приводим дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для всех дробей:

$$4(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})$$

Теперь нам нужно привести числители каждой дроби к общему знаменателю.

1. Первая дробь:$$\frac{1}{4(1+\sqrt{a})}\text{умножаем на}(1-\sqrt{a})$$

   Получаем:

   $$\frac{1-\sqrt{a}}{4(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}$$

2. Вторая дробь:$$\frac{1}{2(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}\text{уже имеет общий знаменатель, оставляем как есть.}$$
3. Третья дробь:$$\frac{1}{4(1-\sqrt{a})}\text{умножаем на}(1+\sqrt{a})$$

   Получаем:

   $$\frac{1+\sqrt{a}}{4(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{1-\sqrt{a}}{4(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}-\frac{1}{2(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}+\frac{1+\sqrt{a}}{4(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}$$

Шаг 5: Сложим числители.

Числители у нас следующие:

$$(1-\sqrt{a})+(1+\sqrt{a})-2$$

Рассмотрим сложение:

1. $(1-\sqrt{a})+(1+\sqrt{a})=1-\sqrt{a}+1+\sqrt{a}=2$
2. Теперь вычитаем $2$:$$2-2=0$$

Таким образом, числитель равен $0$.

Шаг 6: Запишем окончательный результат.

Так как числитель равен $0$, то все выражение равно:

$$\frac{0}{4(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}=0$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 0}}$$

2. Задание:

$$\frac{a\sqrt{2}+a-\sqrt{2}-1}{a\sqrt{2}-2-\sqrt{2}+2a}$$

Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель.

Числитель:

$$a\sqrt{2}+a-\sqrt{2}-1$$

Можно сгруппировать:

$$a(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}+1)$$

Вынесем общий множитель $(\sqrt{2}+1)$:

$$(a-1)(\sqrt{2}+1)$$

Знаменатель:

$$a\sqrt{2}-2-\sqrt{2}+2a$$

Группируем:

$$\sqrt{2}(a-1)+2(a-1)$$

Вынесем общий множитель $(a-1)$:

$$(a-1)(\sqrt{2}+2)$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{(a-1)(\sqrt{2}+1)}{(a-1)(\sqrt{2}+2)}$$

Шаг 2: Сократим на $(a-1)$.

Если $a\mathrm{\ne }1$, можно сократить на ((a — 1),:

$$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$$

Шаг 3: Упростим дробь.

Теперь нужно упростить дробь:

$$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$$

Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя $(2-\sqrt{2})$:

$$\frac{(\sqrt{2}+1)(2-\sqrt{2})}{(\sqrt{2}+2)(2-\sqrt{2})}$$

Шаг 4: Упростим числитель и знаменатель.

Числитель:

$$(\sqrt{2}+1)(2-\sqrt{2})=\sqrt{2}\cdot 2-\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+1\cdot 2-1\cdot \sqrt{2}=$$

$$=2\sqrt{2}-2+2-\sqrt{2}=\sqrt{2}$$

Знаменатель:

$$(\sqrt{2}+2)(2-\sqrt{2})=2^2-(\sqrt{2}{)}^2=4-2=2$$

Шаг 5: Запишем окончательный результат.

Теперь числитель равен $\sqrt{2}$, а знаменатель равен $2$. Получаем:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}$$