ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1272 Алимов — Подробные Ответы

1. sin(2arcsin корень 3/2);
2. tg(2arctg3).

1. $\sin \left( 2 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
   Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. $\operatorname{tg} \left( 2 \operatorname{arctg} 3 \right) = \frac{2 \cdot \operatorname{tg} \left( \operatorname{arctg} 3 \right)}{1 — \operatorname{tg}^2 \left( \operatorname{arctg} 3 \right)} = \frac{2 \cdot 3}{1 — 3^2} = \frac{6}{1 — 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$;
   Ответ: $-\frac{3}{4}$.

Задача 1:

$$\sin \left( 2 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

1.1 Определение $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$

Функция $\arcsin x$ — это обратная функция для синуса. То есть, $\arcsin x = y$ означает, что $\sin y = x$ и $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.

Для $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$ ищем угол $y$, для которого $\sin y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$$

1.2 Подстановка в исходное выражение

Теперь, подставим найденное значение $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$ в выражение:

$$\sin \left( 2 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} \right)$$

1.3 Применение формулы удвоенного угла

Используем формулу для синуса удвоенного угла:

$$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$$

Заменяем $x$ на $\frac{\pi}{3}$:

$$\sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{3}$$

1.4 Вычисление значений синуса и косинуса

Известно, что:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Подставляем эти значения:

$$\sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Задача 2:

$$\operatorname{tg} \left( 2 \operatorname{arctg} 3 \right)$$

2.1 Определение $\operatorname{arctg} 3$

Функция $\operatorname{arctg} x$ — это обратная функция для тангенса. То есть, $\operatorname{arctg} x = y$ означает, что $\tan y = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Для $\operatorname{arctg} 3$ ищем угол $y$, для которого $\tan y = 3$. Таким образом:

$$\operatorname{arctg} 3 = y, \quad \tan y = 3$$

Значение этого угла нам не нужно вычислять напрямую, так как мы используем его для вычисления тангенса удвоенного угла.

2.2 Применение формулы для тангенса удвоенного угла

Используем формулу для тангенса удвоенного угла:

$$\operatorname{tg}(2x) = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}^2 x}$$

Заменяем $x$ на $\operatorname{arctg} 3$. Так как $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 3) = 3$, получаем:

$$\operatorname{tg} \left( 2 \operatorname{arctg} 3 \right) = \frac{2 \cdot \operatorname{tg} \left( \operatorname{arctg} 3 \right)}{1 — \operatorname{tg}^2 \left( \operatorname{arctg} 3 \right)}$$

Подставляем $\operatorname{tg} \left( \operatorname{arctg} 3 \right) = 3$:

$$= \frac{2 \cdot 3}{1 — 3^2}$$

2.3 Вычисление знаменателя

В знаменателе:

$$1 — 3^2 = 1 — 9 = -8$$

2.4 Итоговое вычисление

Теперь вычислим итог:

$$\frac{2 \cdot 3}{-8} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$$

Ответ:

$$-\frac{3}{4}$$