ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1257 Алимов — Подробные Ответы

Освободиться от иррациональности в числителе дроби:

1. $\frac{\sqrt{5}}{10}$$$
2. $\frac{3\sqrt{6}}{6}$$$
3. $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

Избавиться от рациональности в числителе дроби:

1) $\frac{\sqrt{5}}{10}=\sqrt{\frac{5}{100}}=\sqrt{\frac{1}{20}}=\sqrt{\frac{1}{4\cdot 5}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$;

Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{5}}$

2) $\frac{3\sqrt{6}}{6}=\sqrt{\frac{9\cdot 6}{36}}=\sqrt{\frac{54}{36}}=\sqrt{\frac{9}{6}}=\frac{3}{\sqrt{6}}$;

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{6}}$

3) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}=\frac{7-5}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$;

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

1) $\frac{\sqrt{5}}{10}$

Шаг 1: Перепишем дробь в виде корня

Начнем с того, что можно переписать дробь $\frac{\sqrt{5}}{10}$ в виде корня:

$$\frac{\sqrt{5}}{10}=\sqrt{\frac{5}{100}}\mathrm{.}$$

Мы выразили дробь как корень из числа, так как $\frac{5}{100}=0.05$.

Шаг 2: Упростим корень

Дальше можно упростить корень:

$$\sqrt{\frac{5}{100}}=\sqrt{\frac{1}{20}},$$

так как $100=4\cdot 25$, а $25=5^2$. Мы представили дробь как $\frac{1}{4\cdot 5}$, и тем самым упростили выражение.

Шаг 3: Дальше упрощаем

Теперь снова упрощаем корень:

$$\sqrt{\frac{1}{20}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Так как $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$, мы можем записать результат как $\frac{1}{2\sqrt{5}}$.

Ответ:

$$\frac{1}{2\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

2) $\frac{3\sqrt{6}}{6}$

Шаг 1: Разделим числитель и знаменатель

Начнем с того, что можем упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$$\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Представим дробь в виде корня

Теперь перепишем $\frac{\sqrt{6}}{2}$ как корень:

$$\frac{\sqrt{6}}{2}=\sqrt{\frac{6}{4}}\mathrm{.}$$

Так как $6=3\cdot 2$, а 4 — это $2^2$, мы представили дробь как корень.

Шаг 3: Упростим корень

Упростим корень из дроби:

$$\sqrt{\frac{6}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Ответ

Итак, мы получаем:

$$\frac{3}{\sqrt{6}}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{3}{\sqrt{6}}\mathrm{.}$$

3) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

Шаг 1: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Для того чтобы избавиться от рациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{7}+\sqrt{5}$:

$$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов

В числителе у нас произведение разности и суммы двух выражений, это можно упростить с помощью формулы разности квадратов:

$$(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2=7-5=2.$$

Шаг 3: Упростим выражение

Теперь у нас получается:

$$\frac{2}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

1. $\frac{\sqrt{5}}{10}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$.
2. $\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{3}{\sqrt{6}}$.
3. $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$.