ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1253 Алимов — Подробные Ответы

Между какими целыми числами заключено число:

1. lg 50;
2. log2(10)?

Между какими целыми числами заключено число:

$\lg 50 = \log_{10}(5 \cdot 10) = \log_{10} 5 + \log_{10} 10 = \log_{10} 5 + 1$;

$$\log_{10} 1 < \log_{10} 5 < \log_{10} 10;$$ $$0 < \log_{10} 5 < 1;$$ $$1 < \log_{10} 5 + 1 < 2;$$

Ответ: между 1 и 2.

$\log_{2} 10 = \log_{2}(2 \cdot 5) = \log_{2} 2 + \log_{2} 5 = 1 + \log_{2} 5$;

$$\log_{2} 4 < \log_{2} 5 < \log_{2} 8;$$ $$2 < \log_{2} 5 < 3;$$ $$3 < \log_{2} 5 + 1 < 4;$$

Ответ: между 3 и 4.

1) $\lg 50 = \log_{10}(5 \cdot 10)$

Шаг 1: Используем свойства логарифмов

Мы можем использовать свойство логарифмов, которое говорит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов:

$$\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y.$$

В нашем случае:

$$\lg 50 = \log_{10}(5 \cdot 10) = \log_{10} 5 + \log_{10} 10.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Мы знаем, что $\log_{10} 10 = 1$, потому что логарифм числа по основанию этого числа равен 1. Таким образом:

$$\lg 50 = \log_{10} 5 + 1.$$

Шаг 3: Оценим значение $\log_{10} 5$

Для того чтобы понять, между какими числами заключено значение $\log_{10} 5$, рассмотрим неравенство:

$$\log_{10} 1 < \log_{10} 5 < \log_{10} 10.$$

Пояснение:

• $\log_{10} 1 = 0$, потому что $10^0 = 1$,
• $\log_{10} 10 = 1$, потому что $10^1 = 10$.

Таким образом, мы имеем:

$$0 < \log_{10} 5 < 1.$$

Шаг 4: Прибавим 1 к обеим частям неравенства

Теперь добавим 1 ко всем частям неравенства:

$$1 < \log_{10} 5 + 1 < 2.$$

Это дает нам оценку для $\lg 50$:

$$1 < \lg 50 < 2.$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, значение $\lg 50$ заключено между 1 и 2.

Ответ: между 1 и 2.

2) $\log_{2} 10 = \log_{2}(2 \cdot 5)$

Шаг 1: Используем свойства логарифмов

Применим свойство логарифмов для произведения:

$$\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y.$$

Для нашего выражения:

$$\log_{2} 10 = \log_{2}(2 \cdot 5) = \log_{2} 2 + \log_{2} 5.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Мы знаем, что $\log_{2} 2 = 1$, потому что $2^1 = 2$. Следовательно:

$$\log_{2} 10 = 1 + \log_{2} 5.$$

Шаг 3: Оценим значение $\log_{2} 5$

Теперь рассмотрим неравенство для $\log_{2} 5$:

$$\log_{2} 4 < \log_{2} 5 < \log_{2} 8.$$

Пояснение:

• $\log_{2} 4 = 2$, потому что $2^2 = 4$,
• $\log_{2} 8 = 3$, потому что $2^3 = 8$.

Таким образом, мы имеем:

$$2 < \log_{2} 5 < 3.$$

Шаг 4: Прибавим 1 к обеим частям неравенства

Теперь добавим 1 ко всем частям неравенства:

$$3 < \log_{2} 5 + 1 < 4.$$

Это дает нам оценку для $\log_{2} 10$:

$$3 < \log_{2} 10 < 4.$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, значение $\log_{2} 10$ заключено между 3 и 4.

Ответ: между 3 и 4.

Итоговые ответы:

1. $\lg 50$ заключено между 1 и 2.
2. $\log_{2} 10$ заключено между 3 и 4.