ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1237 Алимов — Подробные Ответы

Высота пирамиды равна 5 см, а площадь её основания равна 4 см2. На сколько процентов увеличится объём этой пирамиды, если и площадь её основания, и высоту увеличить на 10%?

Высота пирамиды равна 5 см, а площадь ее основания 4 см²;

1. Объем исходной пирамиды:
   $V_1 = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 4 = \frac{20}{3} \ (\text{см}^3);$
2. Высота пирамиды после увеличения на 10%:
   $h = 5 + 5 \cdot \frac{1}{100} \cdot 10 = 5 + \frac{5}{10} = 5 + \frac{1}{2} = \frac{11}{2} \ (\text{см});$
3. Площадь основания пирамиды после увеличения на 10%:
   $S = 4 + 4 \cdot \frac{1}{100} \cdot 10 = 4 + \frac{4}{10} = 4 + \frac{2}{5} = \frac{22}{5} \ (\text{см}^2);$
4. Объем увеличенной пирамиды:
   $V_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{11}{2} \cdot \frac{22}{5} = \frac{242}{30} = \frac{121}{15} \ (\text{см}^3);$
5. Отношение объемов:
   $\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{121}{15}}{\frac{20}{3}} = \frac{121}{15} \cdot \frac{3}{20} = \frac{121}{5 \cdot 20} = \frac{121}{100} = 1,21;$
6. Увеличение объема в процентах:
   $\left( \frac{V_2}{V_1} — 1 \right) \cdot 100\% = (1,21 — 1) \cdot 100\% = 21\%;$

Ответ: на 21%.

1. Исходные данные:

• Высота пирамиды $h = 5 \, \text{см}$.
• Площадь основания пирамиды $S = 4 \, \text{см}^2$.

2. Формула для объема пирамиды:

Объем пирамиды рассчитывается по следующей формуле:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$$

где:

• $V$ — объем пирамиды,
• $S$ — площадь основания пирамиды,
• $h$ — высота пирамиды.

3. Найдем объем исходной пирамиды:

Исходные значения: $S = 4 \, \text{см}^2$, $h = 5 \, \text{см}$.

Подставляем данные в формулу для объема:

$$V_1 = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 5 = \frac{20}{3} \, \text{см}^3$$

Это объем исходной пирамиды $V_1$.

4. Теперь увеличиваем высоту пирамиды на 10%:

Высота увеличивается на 10%, значит новая высота будет:

$$h_{\text{new}} = h + h \cdot \frac{10}{100} = h \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) = h \cdot 1.1$$

Подставляем $h = 5 \, \text{см}$:

$$h_{\text{new}} = 5 \cdot 1.1 = 5.5 \, \text{см}$$

Теперь высота увеличена на 10% и составляет $h_{\text{new}} = 5.5 \, \text{см}$.

5. Увеличиваем площадь основания на 10%:

Аналогично увеличиваем площадь основания на 10%:

$$S_{\text{new}} = S + S \cdot \frac{10}{100} = S \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) = S \cdot 1.1$$

Подставляем $S = 4 \, \text{см}^2$:

$$S_{\text{new}} = 4 \cdot 1.1 = 4.4 \, \text{см}^2$$

Теперь площадь основания увеличена на 10% и составляет $S_{\text{new}} = 4.4 \, \text{см}^2$.

6. Найдем объем увеличенной пирамиды:

Теперь, когда мы знаем новую высоту и новую площадь основания, можем вычислить объем увеличенной пирамиды по той же формуле:

$$V_2 = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{new}} \cdot h_{\text{new}}$$

Подставляем $S_{\text{new}} = 4.4 \, \text{см}^2$ и $h_{\text{new}} = 5.5 \, \text{см}$:

$$V_2 = \frac{1}{3} \cdot 4.4 \cdot 5.5$$

Выполняем умножение:

$$V_2 = \frac{1}{3} \cdot 24.2 = \frac{24.2}{3} = 8.0667 \, \text{см}^3$$

Это объем увеличенной пирамиды $V_2$.

7. Найдем отношение объемов:

Теперь, когда мы знаем объемы исходной и увеличенной пирамиды, можем найти их отношение:

$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{8.0667}{\frac{20}{3}} = \frac{8.0667 \cdot 3}{20} = \frac{24.2}{20} = 1.21$$

Это отношение объемов увеличенной пирамиды к объему исходной пирамиды.

8. Найдем увеличение объема в процентах:

Для того чтобы найти, на сколько процентов увеличился объем, нужно от отношения объемов отнять 1 и умножить результат на 100%:

$$\text{Увеличение объема} = \left( \frac{V_2}{V_1} — 1 \right) \cdot 100\% = (1.21 — 1) \cdot 100\% = 0.21 \cdot 100\% = 21\%$$

Ответ:

Объем пирамиды увеличится на 21%.