ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1170 Алимов — Подробные Ответы

Наугад называется одно из первых: 1) девятнадцати; 2) двадцати натуральных чисел; рассматриваются события: А — названо число, кратное 4, В — названо число, кратное 5. Выяснить, являются ли события А и В независимыми.

Пусть события:

• $A$ — названо число, кратное четырем;
• $B$ — названо число, кратное пяти;

1) Наугад называется одно из первых 19-ти натуральных чисел:

$$P(A) = \frac{\{4; 8; 12; 16\}}{19} = \frac{4}{19};$$ $$P(B) = \frac{\{5; 10; 15\}}{19} = \frac{3}{19};$$ $$P(AB) = \frac{\varnothing}{19} = \frac{0}{19} = 0;$$ $$P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{19} = \frac{12}{361} \neq P(AB);$$

Ответ: не являются.

2) Наугад называется одно из первых 20-ти натуральных чисел:

$$P(A) = \frac{\{4; 8; 12; 16; 20\}}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4};$$ $$P(B) = \frac{\{5; 10; 15; 20\}}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5};$$ $$P(AB) = \frac{\{20\}}{20} = \frac{1}{20};$$ $$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20} = P(AB);$$

Ответ: являются.

Чтобы решить задачу и определить, являются ли события $A$ и $B$ независимыми, используем следующее:

События $A$ и $B$ называются независимыми, если выполняется условие:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Где:

• $P(A \cap B)$ — вероятность того, что одновременно происходят события $A$ и $B$ (то есть число, которое одновременно кратно 4 и 5),
• $P(A)$ — вероятность того, что названо число, кратное 4,
• $P(B)$ — вероятность того, что названо число, кратное 5.

Если это условие выполняется, то события считаются независимыми, иначе — зависимыми.

1) Наугад называется одно из первых 19-ти натуральных чисел

Рассмотрим первые 19 чисел: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19$.

Шаг 1. Рассчитаем $P(A)$, вероятность того, что число кратно 4

Числа, кратные 4, в первых 19 числах: $4, 8, 12, 16$. Всего 4 таких числа.

$$P(A) = \frac{\text{число чисел, кратных 4}}{\text{общее количество чисел}} = \frac{4}{19}$$

Шаг 2. Рассчитаем $P(B)$, вероятность того, что число кратно 5

Числа, кратные 5, в первых 19 числах: $5, 10, 15$. Всего 3 таких числа.

$$P(B) = \frac{\text{число чисел, кратных 5}}{\text{общее количество чисел}} = \frac{3}{19}$$

Шаг 3. Рассчитаем $P(A \cap B)$, вероятность того, что число кратно и 4, и 5

Числа, кратные и 4, и 5, в первых 19 числах: $20$ (но 20 выходит за пределы первых 19 чисел).

Таким образом, нет чисел, которые одновременно кратны и 4, и 5 в этом случае.

$$P(A \cap B) = 0$$

Шаг 4. Проверим независимость событий

Теперь проверим, выполняется ли условие независимости:

$$P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{19} = \frac{12}{361}$$

Мы видим, что $P(A \cap B) = 0$, а $P(A) \cdot P(B) = \frac{12}{361}$.

Так как $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$, события $A$ и $B$ не являются независимыми.

2) Наугад называется одно из первых 20-ти натуральных чисел

Рассмотрим первые 20 чисел: $1, 2, 3, \ldots, 20$.

Шаг 1. Рассчитаем $P(A)$, вероятность того, что число кратно 4

Числа, кратные 4, в первых 20 числах: $4, 8, 12, 16, 20$. Всего 5 таких чисел.

$$P(A) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$$

Шаг 2. Рассчитаем $P(B)$, вероятность того, что число кратно 5

Числа, кратные 5, в первых 20 числах: $5, 10, 15, 20$. Всего 4 таких числа.

$$P(B) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$$

Шаг 3. Рассчитаем $P(A \cap B)$, вероятность того, что число кратно и 4, и 5

Числа, кратные и 4, и 5, в первых 20 числах: $20$. Всего 1 такое число.

$$P(A \cap B) = \frac{1}{20}$$

Шаг 4. Проверим независимость событий

Теперь проверим, выполняется ли условие независимости:

$$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$$

Мы видим, что $P(A \cap B) = \frac{1}{20}$, и $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{20}$.

Так как $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, события $A$ и $B$ являются независимыми.

Итоги:

1. Для первых 19 чисел события $A$ и $B$ не являются независимыми.
2. Для первых 20 чисел события $A$ и $B$ являются независимыми.