ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1162 Алимов — Подробные Ответы

Двенадцать карточек пронумерованы натуральными числами от 1 до 12. Случайным образом выбирается одна карточка. Рассматриваются события: 1) А — на карточке записан делитель числа 12, В — записано число, кратное 12; 2) А — на карточке делитель числа 6, В — на карточке число, кратное 6; 3) А — на карточке число, меньшее 10, В — на карточке число, большее 5; 4) А — на карточке число, большее 7, В — на карточке число, меньшее 9; 5) А — на карточке число, кратное 2, В — на карточке число, кратное 4; 6) А — на карточке число, кратное 3, В — на карточке число, кратное 6. Установить, в чём состоят события А + В и АВ.

Двенадцать карточек пронумерованы натуральными числами от 1 до 12, наугад выбирается одна карточка;

1) Рассматриваются события:

• $A$ — на карточке записан делитель числа 12;
• $B$ — записано число, кратное 12;
  Событие $A + B$:
  Вынута карта с одним из чисел: $1, 2, 3, 4, 6, 12$;
  Событие $AB$:
  Вынута карта с числом 12;

2) Рассматриваются события:

• $A$ — на карточке записан делитель числа 6;
• $B$ — записано число, кратное 6;
  Событие $A + B$:
  Вынута карта с одним из чисел: $1, 2, 3, 6, 12$;
  Событие $AB$:
  Вынута карта с числом 6;

3) Рассматриваются события:

• $A$ — на карточке записано число, меньшее 10;
• $B$ — записано число, большее 5;
  Событие $A + B$:
  Вынута карта с любым числом;
  Событие $AB$:
  Вынута карта с одним из чисел: $6, 7, 8, 9$;

4) Рассматриваются события:

• $A$ — на карточке записано число, большее 7;
• $B$ — записано число, меньшее 9;
  Событие $A + B$:
  Вынута карта с любым числом;
  Событие $AB$:
  Вынута карта с числом 8;

5) Рассматриваются события:

• $A$ — на карточке записано число, кратное 2;
• $B$ — записано число, кратное 4;
  Событие $A + B$:
  Вынута карта с числом, кратным двум;
  Событие $AB$:
  Вынута карта с числом, кратным четырем;

6) Рассматриваются события:

• $A$ — на карточке записано число, кратное 3;
• $B$ — записано число, кратное 6;
  Событие $A + B$:
  Вынута карта с числом, кратным трем;
  Событие $AB$:
  Вынута карта с числом, кратным шести

Задача состоит в установлении, что представляют собой события $A + B$ и $AB$ для разных пар событий $A$ и $B$, при условии, что наугад выбирается одна из двенадцати карточек, пронумерованных числами от 1 до 12.

Для каждой пары событий $A$ и $B$ подробно рассмотрим их определение и вычислим объединение $A + B$ и пересечение $AB$. Разделим решение на 6 частей, по одной для каждого пункта задачи.

1. $A$ — на карточке записан делитель числа 12, $B$ — записано число, кратное 12

Событие $A$:

• Делители числа 12 — это такие числа, которые нацело делят 12. Делителями числа 12 являются: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

Событие $B$:

• Числа, кратные 12, среди чисел от 1 до 12 — это только одно число: $12$.

Объединение $A + B$:

• Событие $A + B$ включает в себя все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из событий $A$ или $B$. То есть: все делители числа 12 (включая 12) и само число 12. Получаем:

  $$A + B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$$

Пересечение $AB$:

• Событие $AB$ включает в себя элементы, которые принадлежат обоим событиям $A$ и $B$. То есть, это числа, которые являются делителями числа 12 и одновременно кратны 12. Единственным таким числом является $12$. Получаем:

  $$AB = \{12\}$$

2. $A$ — на карточке делитель числа 6, $B$ — на карточке число, кратное 6

Событие $A$:

• Делители числа 6 — это такие числа, которые нацело делят 6. Делителями числа 6 являются: $1, 2, 3, 6$.

Событие $B$:

• Числа, кратные 6, среди чисел от 1 до 12 — это только одно число: $6$.

Объединение $A + B$:

• Событие $A + B$ включает в себя все числа, которые являются либо делителями числа 6, либо кратными 6. То есть:

  $$A + B = \{1, 2, 3, 6\}$$

Пересечение $AB$:

• Событие $AB$ включает в себя числа, которые являются делителями числа 6 и одновременно кратны 6. Единственным таким числом является $6$. Получаем:

  $$AB = \{6\}$$

3. $A$ — на карточке число, меньшее 10, $B$ — на карточке число, большее 5

Событие $A$:

• Числа, которые меньше 10, это: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Событие $B$:

• Числа, которые больше 5, это: $6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$.

Объединение $A + B$:

• Событие $A + B$ включает все числа, которые либо меньше 10, либо больше 5. То есть:

  $$A + B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$$

  Все числа от 1 до 12 входят в это событие.

Пересечение $AB$:

• Событие $AB$ включает в себя числа, которые одновременно меньше 10 и больше 5. То есть:

  $$AB = \{6, 7, 8, 9\}$$

4. $A$ — на карточке число, большее 7, $B$ — на карточке число, меньшее 9

Событие $A$:

• Числа, которые больше 7, это: $8, 9, 10, 11, 12$.

Событие $B$:

• Числа, которые меньше 9, это: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Объединение $A + B$:

• Событие $A + B$ включает все числа, которые либо больше 7, либо меньше 9. То есть:

  $$A + B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$$

  Все числа от 1 до 12 входят в это событие.

Пересечение $AB$:

• Событие $AB$ включает в себя числа, которые одновременно больше 7 и меньше 9. То есть:

  $$AB = \{8\}$$

5. $A$ — на карточке число, кратное 2, $B$ — на карточке число, кратное 4

Событие $A$:

• Числа, которые кратны 2, это: $2, 4, 6, 8, 10, 12$.

Событие $B$:

• Числа, которые кратны 4, это: $4, 8, 12$.

Объединение $A + B$:

• Событие $A + B$ включает все числа, которые либо кратны 2, либо кратны 4. То есть:

  $$A + B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$$

Пересечение $AB$:

• Событие $AB$ включает числа, которые одновременно кратны 2 и кратны 4. То есть:

  $$AB = \{4, 8, 12\}$$

6. $A$ — на карточке число, кратное 3, $B$ — на карточке число, кратное 6

Событие $A$:

• Числа, которые кратны 3, это: $3, 6, 9, 12$.

Событие $B$:

• Числа, которые кратны 6, это: $6, 12$.

Объединение $A + B$:

• Событие $A + B$ включает все числа, которые либо кратны 3, либо кратны 6. То есть:

  $$A + B = \{3, 6, 9, 12\}$$

Пересечение $AB$:

• Событие $AB$ включает числа, которые одновременно кратны 3 и кратны 6. То есть:

  $$AB = \{6, 12\}$$

Итоги:

Для каждой пары событий $A$ и $B$ мы нашли:

1. Объединение $A + B$ — это множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из событий $A$ или $B$.
2. Пересечение $AB$ — это множество всех чисел, которые принадлежат обоим событиям $A$ и $B$.

Вот итоговые результаты для каждого пункта задачи:

1. $A + B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$, $AB = \{12\}$
2. $A + B = \{1, 2, 3, 6\}$, $AB = \{6\}$
3. $A + B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$, $AB = \{6, 7, 8, 9\}$
4. $A + B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$, $AB = \{8\}$
5. $A + B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$, $AB = \{4, 8, 12\}$
6. $A + B = \{3, 6, 9, 12\}$, $AB = \{6, 12\}$