ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1149 Алимов — Подробные Ответы

Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, что сработает второй, равна 0,95. Найти вероятность того, что при угоне:

1. сработают оба датчика;
2. оба датчика не сработают;
3. сработает хотя бы один из датчиков;
4. хотя бы один из датчиков не сработает.

Для сигнализации установлены два независимых датчика, вероятность, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, а что сработает второй — равна 0,95;

Пусть событие:

• $A$ — сработал первый датчик;
• $B$ — сработал второй датчик;

1. Вероятность, что сработают оба датчика:
   $P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,97 \cdot 0,95 = 0,9215;$
   Ответ: 0,9215.
2. Вероятность, что не сработает ни один датчик:
   $P(\overline{A} \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = (1 — 0,97) \cdot (1 — 0,95) = 0,03 \cdot 0,05 = 0,0015;$
   Ответ: 0,0015.
3. Вероятность, что сработает хотя бы один из датчиков:
   $1 — P(\overline{A} \overline{B}) = 1 — P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 1 — 0,03 \cdot 0,05 = 1 — 0,0015 = 0,9985;$
   Ответ: 0,9985.
4. Вероятность, что хотя бы один из датчиков не сработает:
   $1 — P(AB) = 1 — P(A) \cdot P(B) = 1 — 0,97 \cdot 0,95 = 1 — 0,9215 = 0,0785;$
   Ответ: 0,0785.

Условия задачи:

Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика:

• Вероятность того, что сработает первый датчик $P(A) = 0.97$.
• Вероятность того, что сработает второй датчик $P(B) = 0.95$.

Нужно найти вероятность того, что при угоне:

1. Сработают оба датчика.
2. Оба датчика не сработают.
3. Сработает хотя бы один из датчиков.
4. Хотя бы один из датчиков не сработает.

Шаг 1: Вывод формул

Для всех вероятностей будем использовать стандартные формулы для независимых событий:

Вероятность того, что оба события произойдут одновременно, для независимых событий:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$

Вероятность того, что оба события не произойдут одновременно:

$$P(\overline{A} \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$$

где $\overline{A}$ и $\overline{B}$ — это противоположные события для $A$ и $B$.

Вероятность того, что хотя бы одно из двух событий произойдёт, выражается через дополнение к вероятности того, что не произойдёт ни одно из событий:

$$P(A \cup B) = 1 — P(\overline{A} \overline{B})$$

Вероятность того, что хотя бы одно событие не произойдёт, выражается как дополнение к вероятности того, что оба события произойдут:

$$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 — P(AB)$$

1) Вероятность, что сработают оба датчика

Для вычисления этой вероятности используем формулу для независимых событий:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$

Подставим значения:

$$P(AB) = 0.97 \cdot 0.95 = 0.9215$$

Ответ: Вероятность, что сработают оба датчика, равна $0.9215$.

2) Вероятность, что оба датчика не сработают

Для вычисления этой вероятности, сначала находим вероятности того, что каждый из датчиков не сработает, а затем используем формулу для независимых событий:

$$P(\overline{A} \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$$

Где:

• $P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 1 — 0.97 = 0.03$
• $P(\overline{B}) = 1 — P(B) = 1 — 0.95 = 0.05$

Теперь подставим значения:

$$P(\overline{A} \overline{B}) = 0.03 \cdot 0.05 = 0.0015$$

Ответ: Вероятность, что оба датчика не сработают, равна $0.0015$.

3) Вероятность, что сработает хотя бы один из датчиков

Для вычисления этой вероятности используем дополнение к вероятности того, что не сработает ни один из датчиков:

$$P(A \cup B) = 1 — P(\overline{A} \overline{B})$$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $P(\overline{A} \overline{B}) = 0.0015$.

Теперь подставим:

$$P(A \cup B) = 1 — 0.0015 = 0.9985$$

Ответ: Вероятность, что сработает хотя бы один из датчиков, равна $0.9985$.

4) Вероятность, что хотя бы один из датчиков не сработает

Для вычисления этой вероятности используем дополнение к вероятности того, что оба датчика сработают:

$$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 — P(AB)$$

Из предыдущих шагов мы знаем, что $P(AB) = 0.9215$.

Теперь подставим:

$$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 — 0.9215 = 0.0785$$

Ответ: Вероятность, что хотя бы один из датчиков не сработает, равна $0.0785$.

Итоговые ответы:

1. Вероятность, что сработают оба датчика: $0.9215$
2. Вероятность, что оба датчика не сработают: $0.0015$
3. Вероятность, что сработает хотя бы один из датчиков: $0.9985$
4. Вероятность, что хотя бы один из датчиков не сработает: $0.0785$