ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1146 Алимов — Подробные Ответы

Наугад называется: 1) одно из первых двенадцати натуральных чисел; 2) одно из первых тринадцати натуральных чисел. Рассматриваются события: А — названное число является чётным, В — названное число кратно трём. Установить, являются ли события А и В независимыми.

Пусть событие:

• $A$ — названное число является четным;
• $B$ — названное число кратно трем;

1) Наугад называется одно из первых 12-ти натуральных чисел:

$$P(A) = \frac{\{2; 4; 6; 8; 10; 12\}}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2};$$ $$P(B) = \frac{\{3; 6; 9; 12\}}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3};$$ $$P(AB) = \frac{\{6; 12\}}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6};$$ $$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = P(AB);$$

Ответ: являются.

2) Наугад называется одно из первых 13-ти натуральных чисел:

$$P(A) = \frac{\{2; 4; 6; 8; 10; 12\}}{13} = \frac{6}{13};$$ $$P(B) = \frac{\{3; 6; 9; 12\}}{13} = \frac{4}{13};$$ $$P(AB) = \frac{\{6; 12\}}{13} = \frac{2}{13};$$ $$P(A) \cdot P(B) = \frac{6}{13} \cdot \frac{4}{13} = \frac{24}{169} \neq P(AB);$$

Ответ: не являются.

• Событие $A$: названное число является чётным.
• Событие $B$: названное число кратно трём.
• Необходимо определить, являются ли события $A$ и $B$ независимыми для двух случаев:
  1. Когда наугад называется одно из первых 12 натуральных чисел.
  2. Когда наугад называется одно из первых 13 натуральных чисел.

События $A$ и $B$ независимы, если выполняется следующее условие:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$

где $P(AB)$ — вероятность того, что оба события происходят одновременно, $P(A)$ — вероятность события $A$, и $P(B)$ — вероятность события $B$.

1) Наугад называется одно из первых 12-ти натуральных чисел:

Множество первых 12 натуральных чисел: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

Шаг 1: Вычислим $P(A)$ — вероятность того, что названное число чётное

Чётные числа среди первых 12 чисел: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$

Количество чётных чисел: 6

Общее количество чисел: 12

$$P(A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Вычислим $P(B)$ — вероятность того, что названное число кратно трём

Числа, кратные трём среди первых 12 чисел: $\{3, 6, 9, 12\}$

Количество чисел, кратных трём: 4

Общее количество чисел: 12

$$P(B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Шаг 3: Вычислим $P(AB)$ — вероятность того, что число одновременно чётное и кратно трём

Числа, которые одновременно чётные и кратные трём среди первых 12 чисел: $\{6, 12\}$

Количество чисел, которые одновременно чётные и кратные трём: 2

Общее количество чисел: 12

$$P(AB) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

Шаг 4: Проверим независимость событий $A$ и $B$

Для того чтобы события $A$ и $B$ были независимыми, должно выполняться условие:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$

Подставим найденные значения:

$$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

Так как $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$, то события $A$ и $B$ являются независимыми.

Ответ для первого случая: Да, события $A$ и $B$ являются независимыми.

2) Наугад называется одно из первых 13-ти натуральных чисел:

Множество первых 13 натуральных чисел: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$

Шаг 1: Вычислим $P(A)$ — вероятность того, что названное число чётное

Чётные числа среди первых 13 чисел: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$

Количество чётных чисел: 6

Общее количество чисел: 13

$$P(A) = \frac{6}{13}$$

Шаг 2: Вычислим $P(B)$ — вероятность того, что названное число кратно трём

Числа, кратные трём среди первых 13 чисел: $\{3, 6, 9, 12\}$

Количество чисел, кратных трём: 4

Общее количество чисел: 13

$$P(B) = \frac{4}{13}$$

Шаг 3: Вычислим $P(AB)$ — вероятность того, что число одновременно чётное и кратно трём

Числа, которые одновременно чётные и кратные трём среди первых 13 чисел: $\{6, 12\}$

Количество чисел, которые одновременно чётные и кратные трём: 2

Общее количество чисел: 13

$$P(AB) = \frac{2}{13}$$

Шаг 4: Проверим независимость событий $A$ и $B$

Для того чтобы события $A$ и $B$ были независимыми, должно выполняться условие:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$

Подставим найденные значения:

$$P(A) \cdot P(B) = \frac{6}{13} \cdot \frac{4}{13} = \frac{24}{169}$$

Сравним с $P(AB)$:

$$P(AB) = \frac{2}{13}$$

Так как $\frac{24}{169} \neq \frac{2}{13}$, события $A$ и $B$ не являются независимыми.

Ответ для второго случая: Нет, события $A$ и $B$ не являются независимыми.

Итоговые ответы:

1. Для первых 12 чисел: Да, события $A$ и $B$ являются независимыми.
2. Для первых 13 чисел: Нет, события $A$ и $B$ не являются независимыми.