ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1136 Алимов — Подробные Ответы

В папке находятся 15 билетов спортивной лотереи, 20 билетов художественной лотереи и 30 билетов денежно-вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом: 1) либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи; 2) либо спортивной, либо художественной лотереи; 3) либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи. Решить задачу двумя способами.

В папке находятся 15 билетов спортивной лотереи, 20 билетов художественной лотереи и 30 билетов денежно-вещевой лотереи; наугад вынимают один билет:

$n = 15 + 20 + 30 = 65$ — общее число билетов;

1) Вероятность, что это спортивный или денежно-вещевой билет:

Пусть событие $A$ — появление спортивного билета и событие $B$ — появление денежно-вещевого билета, тогда событие $A + B$ — искомое:

$$P(A) = \frac{15}{65} \quad \text{и} \quad P(B) = \frac{30}{65};$$ $$P(A + B) = P(A) + P(B) = \frac{15}{65} + \frac{30}{65} = \frac{45}{65} = \frac{9}{13};$$

Пусть событие $C$ — появление художественного билета, тогда событие $\overline{C}$ — искомое:

$$P(C) = \frac{20}{65} = \frac{4}{13};$$ $$P(\overline{C}) = 1 — P(C) = 1 — \frac{4}{13} = \frac{9}{13};$$

Ответ: $\frac{9}{13}$.

2) Вероятность, что это спортивный или денежно-вещевой билет:

Пусть событие $A$ — появление спортивного билета и событие $B$ — появление художественного билета, тогда событие $A + B$ — искомое:

$$P(A) = \frac{15}{65} \quad \text{и} \quad P(B) = \frac{20}{65};$$ $$P(A + B) = P(A) + P(B) = \frac{15}{65} + \frac{20}{65} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13};$$

Пусть событие $C$ — появление денежно-вещевого билета, тогда событие $\overline{C}$ — искомое:

$$P(C) = \frac{30}{65} = \frac{6}{13};$$ $$P(\overline{C}) = 1 — P(C) = 1 — \frac{6}{13} = \frac{7}{13};$$

Ответ: $\frac{7}{13}$.

3) Вероятность, что это художественный или денежно-вещевой билет:

Пусть событие $A$ — появление художественного билета и событие $B$ — появление денежно-вещевого билета, тогда событие $A + B$ — искомое:

$$P(A) = \frac{20}{65} \quad \text{и} \quad P(B) = \frac{30}{65};$$ $$P(A + B) = P(A) + P(B) = \frac{20}{65} + \frac{30}{65} = \frac{50}{65} = \frac{10}{13};$$

Пусть событие $C$ — появление спортивного билета, тогда событие $\overline{C}$ — искомое:

$$P(C) = \frac{15}{65} = \frac{3}{13};$$ $$P(\overline{C}) = 1 — P(C) = 1 — \frac{3}{13} = \frac{10}{13};$$

Ответ: $\frac{10}{13}$.

• В папке находятся:
  • 15 билетов спортивной лотереи,
  • 20 билетов художественной лотереи,
  • 30 билетов денежно-вещевой лотереи.
• Всего билетов: $15 + 20 + 30 = 65$.

Необходимо найти вероятность того, что наугад вынутый билет окажется:

1. Либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи.
2. Либо спортивной, либо художественной лотереи.
3. Либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи.

Для расчета вероятности используем формулу:

$$P = \frac{m}{n}$$

где:

• $m$ — количество благоприятных исходов (количество билетов, которые удовлетворяют условиям задачи),
• $n = 65$ — общее количество билетов.

1) Вероятность, что билет либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи:

Способ 1: Метод через объединение событий.

Пусть:

• $A$ — событие, что выпал спортивный билет,
• $B$ — событие, что выпал денежно-вещевой билет.

Событие $A + B$ — это событие, что билет либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи.

• Количество спортивных билетов: $15$,
• Количество денежно-вещевых билетов: $30$.

Таким образом, количество благоприятных исходов:

$$m = 15 + 30 = 45$$

Теперь рассчитываем вероятность:

$$P(A + B) = \frac{m}{n} = \frac{45}{65} = \frac{9}{13}$$

Способ 2: Метод через дополнение.

Вместо того чтобы искать вероятность выпадения спортивного или денежно-вещевого билета напрямую, можно посчитать вероятность противоположного события, а затем вычесть её из 1.

Пусть $C$ — событие, что выпал билет художественной лотереи. Количество художественных билетов: $20$.

Тогда вероятность того, что билет не будет художественным, а значит, будет либо спортивным, либо денежно-вещевым, равна:

$$P(\overline{C}) = 1 — P(C) = 1 — \frac{20}{65} = \frac{45}{65} = \frac{9}{13}$$

Ответ: Вероятность того, что билет либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи, равна $\frac{9}{13}$.

2) Вероятность, что билет либо спортивной, либо художественной лотереи:

Способ 1: Метод через объединение событий.

Пусть:

• $A$ — событие, что выпал спортивный билет,
• $B$ — событие, что выпал художественный билет.

Событие $A + B$ — это событие, что билет либо спортивной, либо художественной лотереи.

• Количество спортивных билетов: $15$,
• Количество художественных билетов: $20$.

Таким образом, количество благоприятных исходов:

$$m = 15 + 20 = 35$$

Теперь рассчитываем вероятность:

$$P(A + B) = \frac{m}{n} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13}$$

Способ 2: Метод через дополнение.

Можно посчитать вероятность противоположного события (что билет будет денежно-вещевым) и вычесть её из 1.

Пусть $C$ — событие, что выпал билет денежно-вещевой лотереи. Количество денежно-вещевых билетов: $30$.

Тогда вероятность того, что билет не будет денежно-вещевым, а значит, будет либо спортивным, либо художественным, равна:

$$P(\overline{C}) = 1 — P(C) = 1 — \frac{30}{65} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13}$$

Ответ: Вероятность того, что билет либо спортивной, либо художественной лотереи, равна $\frac{7}{13}$.

3) Вероятность, что билет либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи:

Способ 1: Метод через объединение событий.

Пусть:

• $A$ — событие, что выпал художественный билет,
• $B$ — событие, что выпал денежно-вещевой билет.

Событие $A + B$ — это событие, что билет либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи.

• Количество художественных билетов: $20$,
• Количество денежно-вещевых билетов: $30$.

Таким образом, количество благоприятных исходов:

$$m = 20 + 30 = 50$$

Теперь рассчитываем вероятность:

$$P(A + B) = \frac{m}{n} = \frac{50}{65} = \frac{10}{13}$$

Способ 2: Метод через дополнение.

Можно посчитать вероятность противоположного события (что билет будет спортивным) и вычесть её из 1.

Пусть $C$ — событие, что выпал спортивный билет. Количество спортивных билетов: $15$.

Тогда вероятность того, что билет не будет спортивным, а значит, будет либо художественным, либо денежно-вещевым, равна:

$$P(\overline{C}) = 1 — P(C) = 1 — \frac{15}{65} = \frac{50}{65} = \frac{10}{13}$$

Ответ: Вероятность того, что билет либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи, равна $\frac{10}{13}$.

Итоговые ответы:

1. Вероятность того, что билет либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи: $\frac{9}{13}$
2. Вероятность того, что билет либо спортивной, либо художественной лотереи: $\frac{7}{13}$
3. Вероятность того, что билет либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи: $\frac{10}{13}$