ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1112 Алимов — Подробные Ответы

В некотором государстве автомобильный номер составляется из трёх различных букв алфавита, состоящего из 25 букв, и трёх цифр (с их возможными повторами). Скольким автомобилям можно присвоить получаемые таким образом номера?

Способы составить автомобильный номер:

Вариантов выбора трех букв из 25 (порядок важен):
$A_{25}^3 = \frac{25!}{(25-3)!} = \frac{25!}{22!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22!}{22!} = 13\,800;$

Вариантов выбора трех цифр из десяти (с повторами):
$A_2 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000;$

Всего вариантов:
$A = A_{25}^3 \cdot A_2 = 13\,800 \cdot 1\,000 = 13\,800\,000;$

Ответ: 13 800 000 номеров.

Условия задачи:

1. Номер состоит из трех различных букв алфавита, состоящего из 25 букв.
2. Номер состоит из трех цифр, при этом цифры могут повторяться.

Нам нужно подсчитать количество возможных автомобильных номеров, которые могут быть составлены при таких условиях.

Шаг 1: Подсчёт вариантов для выбора трех различных букв

Поскольку буквы должны быть различными, порядок их выбора имеет значение (так как комбинация букв с учетом порядка даёт разные результаты). Мы будем использовать формулу размещений, так как порядок важен.

Формула для размещений:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

где:

• $n = 25$ — количество букв в алфавите,
• $k = 3$ — количество букв, которые нужно выбрать.

Используем эту формулу для подсчёта количества способов выбрать три различных буквы из 25:

$$A_{25}^3 = \frac{25!}{(25-3)!} = \frac{25!}{22!} = 25 \cdot 24 \cdot 23 = 13\,800$$

Ответ для букв: Есть 13 800 способов выбрать три различных буквы.

Шаг 2: Подсчёт вариантов для выбора трех цифр

Цифры могут повторяться, и порядок цифр имеет значение (например, «123» и «231» — это разные номера). Таким образом, для каждой из трех позиций цифр мы можем выбрать одну из 10 возможных цифр (от 0 до 9). Это задача на размещение с повторениями.

Формула для размещений с повторениями:

$$A_n^k = n^k$$

где:

• $n = 10$ — количество возможных цифр,
• $k = 3$ — количество цифр, которые нужно выбрать.

Используем эту формулу для подсчёта количества способов выбрать три цифры (с повторениями):

$$A_2 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1\,000$$

Ответ для цифр: Есть 1 000 способов выбрать три цифры.

Шаг 3: Подсчёт общего количества номеров

Теперь, чтобы найти общее количество возможных номеров, нужно перемножить количество способов выбрать буквы и количество способов выбрать цифры:

$$A = A_{25}^3 \cdot A_2 = 13\,800 \cdot 1\,000 = 13\,800\,000$$

Итоговое решение

Таким образом, количество различных номеров, которые можно присвоить автомобилям в этом государстве, равно 13 800 000.

Ответ: $13\,800\,000$ номеров.