ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1104 Алимов — Подробные Ответы

Сколькими способами можно рассадить: 1) четверых; 2) троих учащихся на имеющихся в классе 20 стульях?

Способы, которыми можно рассадить на 20 стульях:

1) Четверых учащихся (порядок важен):

$$A_{20}^4 = \frac{20!}{(20-4)!} = \frac{20!}{16!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16!}{16!} = 116 \, 280;$$

Ответ: 116 280 способов.

2) Трех учащихся (порядок важен):

$$A_{20}^3 = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!}{17!} = 6 \, 840;$$

Ответ: 6 840 способов.

Мы ищем количество способов разместить $k$ учеников на $n$ стульях, где $k$ — количество учеников, а $n$ — количество стульев. Это задача на размещение (или перестановку с выбором), где порядок имеет значение.

Для нахождения количества способов размещения $k$ элементов из $n$ возможных используется формула для размещения:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

где:

• $n$ — общее количество мест (в нашем случае, 20 стульев),
• $k$ — количество элементов, которые мы хотим разместить (в нашей задаче это количество учащихся).

1) Рассадка четырех учащихся на 20 стульях:

Условие задачи: Нужно рассадить 4 учащихся на 20 стульях. Порядок имеет значение, так как важно, какой ученик займет какой стул.

Используем формулу для размещений:

$$A_{20}^4 = \frac{20!}{(20-4)!} = \frac{20!}{16!}$$

Разложение факториалов:

• $20! = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16!$

Теперь подставим это в формулу:

$$A_{20}^4 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16!}{16!}$$

Сократим $16!$ в числителе и знаменателе:

$$A_{20}^4 = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17$$

Теперь вычислим:

$$20\cdot 19=380$$

$$20 \cdot 19 = 380$$ $$380\cdot 18=6840$$

$$380 \cdot 18 = 6840$$ $$6840 \cdot 17 = 116280$$

Ответ: Количество способов рассадить четырех учащихся на 20 стульях — 116 280 способов.

2) Рассадка трех учащихся на 20 стульях:

Условие задачи: Нужно рассадить 3 учащихся на 20 стульях. Порядок имеет значение.

Используем формулу для размещений:

$$A_{20}^3 = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!}$$

Разложение факториалов:

• $20! = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!$

Теперь подставим это в формулу:

$$A_{20}^3 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!}{17!}$$

Сократим $17!$ в числителе и знаменателе:

$$A_{20}^3 = 20 \cdot 19 \cdot 18$$

Теперь вычислим:

$$20\cdot 19=380$$

$$20 \cdot 19 = 380$$ $$380 \cdot 18 = 6840$$

Ответ: Количество способов рассадить трех учащихся на 20 стульях — 6 840 способов.