ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1103 Алимов — Подробные Ответы

Сколькими способами могут распределиться одно первое, одно второе и одно третье места среди: 1) десяти; 2) восьми участников соревнования?

Способов выбрать три призовых места среди:

1) Десяти участников соревнования (порядок важен):

$A_{10}^{3} = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 720;$

Ответ: 720 способов.

2) Восьми участников соревнования (порядок важен):

$A_{8}^{3} = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 336;$

Ответ: 336 способов.

Мы ищем количество способов распределить три места (первое, второе и третье) среди $n$ участников. Это классическая задача на перестановки с условием, что каждый из участников может занять только одно место.

Когда порядок важен, это задача на размещение (перестановки).

Формула для вычисления количества размещений $A_n^k$ (то есть количества способов распределить $k$ мест среди $n$ участников) выглядит так:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

где:

• $n$ — общее количество участников,
• $k$ — количество мест, которые нужно распределить (в нашем случае, $k = 3$).

1) Для десяти участников соревнования:

Условие задачи: Нужно распределить три призовых места (первое, второе и третье) среди 10 участников. Порядок имеет значение.

Используем формулу для размещений:

$$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}$$

Разложение факториалов:

• $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$

Подставим в формулу:

$$A_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!}$$

Теперь сокращаем $7!$ в числителе и знаменателе:

$$A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8$$

Теперь вычислим:

$$10\cdot 9=90$$

$$10 \cdot 9 = 90$$ $$90 \cdot 8 = 720$$

Ответ: Количество способов распределить три призовых места среди 10 участников — 720 способов.

2) Для восьми участников соревнования:

Условие задачи: Нужно распределить три призовых места (первое, второе и третье) среди 8 участников. Порядок имеет значение.

Используем ту же формулу для размещений:

$$A_{8}^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!}$$

Разложение факториалов:

• $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!$

Подставим в формулу:

$$A_{8}^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!}$$

Теперь сокращаем $5!$ в числителе и знаменателе:

$$A_{8}^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6$$

Теперь вычислим:

$$8\cdot 7=56$$

$$8 \cdot 7 = 56$$ $$56 \cdot 6 = 336$$

Ответ: Количество способов распределить три призовых места среди 8 участников — 336 способов.