ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1102 Алимов — Подробные Ответы

Сколько существует способов выбора троих учёных из числа: 1) десяти; 2) девяти сотрудников кафедры?

Способы выбора троих ученых из числа:

1) Десяти сотрудников кафедры (порядок не важен):

$C_{10}^{3} = \frac{10!}{(10-3)! \cdot 3!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2} = 5 \cdot 3 \cdot 8 = 120;$

Ответ: 120 способов.

2) Девяти сотрудников кафедры (порядок не важен):

$C_{9}^{3} = \frac{9!}{(9-3)! \cdot 3!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 3 \cdot 2} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84;$

Ответ: 84 способа.

1) Десяти сотрудников кафедры (порядок не важен):

Условие: Нужно выбрать 3 ученых из 10 сотрудников, при этом порядок их выбора не имеет значения.

Решение: Это классическая задача на сочетания, где порядок элементов не имеет значения, а важен только сам выбор.

Для нахождения количества способов выбора $k$ элементов из $n$ возможных используется формула сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

В нашей задаче $n = 10$ (общее количество сотрудников), $k = 3$ (необходимое количество ученых). Подставим эти значения в формулу:

$$C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!}$$

Разложение факториалов:

• $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$
• $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$
• $7!$ сокращается с одинаковым факториалом в числителе и знаменателе.

Подставим эти значения:

$$C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{6 \cdot 7!}$$

Теперь сократим $7!$ в числителе и знаменателе:

$$C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6}$$

Далее, вычислим:

$$10\cdot 9=90$$

$$10 \cdot 9 = 90$$ $$90\cdot 8=720$$

$$90 \cdot 8 = 720$$ $$720 \div 6 = 120$$

Ответ: Количество способов выбрать троих ученых из десяти сотрудников кафедры — 120 способов.

2) Девяти сотрудников кафедры (порядок не важен):

Условие: Нужно выбрать 3 ученых из 9 сотрудников, порядок их выбора не имеет значения.

Используем ту же формулу сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Здесь $n = 9$, $k = 3$. Подставляем эти значения в формулу:

$$C_{9}^{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!}$$

Разложение факториалов:

• $9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!$
• $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$
• $6!$ сокращается с одинаковым факториалом в числителе и знаменателе.

Подставим эти значения:

$$C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6 \cdot 6!}$$

Теперь сократим $6!$ в числителе и знаменателе:

$$C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6}$$

Далее, вычислим:

$$9\cdot 8=72$$

$$9 \cdot 8 = 72$$ $$72\cdot 7=504$$

$$72 \cdot 7 = 504$$ $$504 \div 6 = 84$$

Ответ: Количество способов выбрать троих ученых из девяти сотрудников кафедры — 84 способа.