ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1089 Алимов — Подробные Ответы

В школьном хоре 7 девочек и 4 мальчика. Сколькими способами из состава хора можно выбрать для участия в районном смотре: 1) 5 девочек и 2 мальчиков; 2) 4 девочек и 3 мальчиков?

Способы из 7 девочек и 4 мальчиков собрать хор, состоящий:

1) Из пяти девочек и двух мальчиков:

Вариантов выбрать пять девочек:

$$C_7^5 = \frac{7!}{(7-5)! \cdot 5!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 5!} = 7 \cdot 3 = 21;$$

Вариантов выбрать двух мальчиков:

$$C_4^2 = \frac{4!}{(4-2)! \cdot 2!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2} = 2 \cdot 3 = 6;$$

Всего вариантов:

$$A = C_7^5 \cdot C_4^2 = 21 \cdot 6 = 126;$$

Ответ: 126 способов.

2) Из четырех девочек и трех мальчиков:

Вариантов выбрать четыре девочки:

$$C_7^4 = \frac{7!}{(7-4)! \cdot 4!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 4!} = 7 \cdot 5 = 35;$$

Вариантов выбрать трех мальчиков:

$$C_4^3 = \frac{4!}{(4-3)! \cdot 3!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 3!}{3!} = 4;$$

Всего вариантов:

$$A = C_7^4 \cdot C_4^3 = 35 \cdot 4 = 140;$$

Ответ: 140 способов.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу сочетаний, так как нам нужно выбрать определенное количество объектов (девочек и мальчиков) из общего числа, и порядок выбора не имеет значения.

Формула для сочетаний

$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!}$$

где:

• $n$ — общее количество объектов (в данном случае количество девочек или мальчиков в хоре),
• $k$ — количество объектов, которые нужно выбрать (например, 5 девочек и 2 мальчика),
• $n!$ — факториал числа $n$, равный произведению всех чисел от 1 до $n$,
• $k!$ — факториал числа $k$,
• $(n — k)!$ — факториал разности $n$ и $k$.

Теперь давайте поочередно решим обе части задачи.

Задача 1: 5 девочек и 2 мальчика

Шаг 1: Выбор 5 девочек из 7

Нам нужно выбрать 5 девочек из 7. Для этого используем формулу для сочетаний:

$$C_7^5 = \frac{7!}{5! \cdot (7 — 5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!}$$

Раскроем факториалы:

$$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$$ $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$ $$2! = 2 \cdot 1 = 2$$

Теперь подставим эти значения:

$$C_7^5 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$$

Ответ для выбора девочек: 21 способ.

Шаг 2: Выбор 2 мальчиков из 4

Теперь нужно выбрать 2 мальчиков из 4. Используем ту же формулу для сочетаний:

$$C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot (4 — 2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!}$$

Раскроем факториалы:

$$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$ $$2! = 2 \cdot 1 = 2$$

Теперь подставим эти значения:

$$C_4^2 = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

Ответ для выбора мальчиков: 6 способов.

Шаг 3: Общее количество способов

Для получения общего количества способов нужно перемножить количество способов выбрать девочек и мальчиков:

$$A = C_7^5 \cdot C_4^2 = 21 \cdot 6 = 126$$

Ответ для задачи 1: 126 способов.

Задача 2: 4 девочки и 3 мальчика

Шаг 1: Выбор 4 девочек из 7

Нам нужно выбрать 4 девочки из 7. Для этого используем формулу для сочетаний:

$$C_7^4 = \frac{7!}{4! \cdot (7 — 4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!}$$

Раскроем факториалы:

$$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$$ $$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$ $$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$

Теперь подставим эти значения:

$$C_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$$

Ответ для выбора девочек: 35 способов.

Шаг 2: Выбор 3 мальчиков из 4

Теперь нужно выбрать 3 мальчиков из 4. Используем формулу для сочетаний:

$$C_4^3 = \frac{4!}{3! \cdot (4 — 3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!}$$

Раскроем факториалы:

$$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$ $$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$ $$1! = 1$$

Теперь подставим эти значения:

$$C_4^3 = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{6} = 4$$

Ответ для выбора мальчиков: 4 способа.

Шаг 3: Общее количество способов

Для получения общего количества способов нужно перемножить количество способов выбрать девочек и мальчиков:

$$A = C_7^4 \cdot C_4^3 = 35 \cdot 4 = 140$$

Ответ для задачи 2: 140 способов.