ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1084 Алимов — Подробные Ответы

На плоскости отмечено: 1) 16 точек; 2) 13 точек, причём никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько различных отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно?

Способов соединить отрезком две точки:

1. Из шестнадцати точек:
   $C_{16}^2 = \frac{16!}{(16-2)! \cdot 2!} = \frac{16!}{14! \cdot 2!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{14! \cdot 2} = 8 \cdot 15 = 120;$
   Ответ: 120 способов.
2. Из тринадцати точек:
   $C_{13}^2 = \frac{13!}{(13-2)! \cdot 2!} = \frac{13!}{11! \cdot 2!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11!}{11! \cdot 2} = 13 \cdot 6 = 78;$
   Ответ: 78 способов.

Чтобы найти количество различных отрезков, нужно выбрать 2 точки из набора всех точек и соединить их отрезком. Важное замечание заключается в том, что отрезок определяется парой точек, и в задаче указано, что никакие 3 точки не лежат на одной прямой, поэтому каждый отрезок будет уникальным.

Задача сводится к вычислению числа способов выбрать 2 точки из $n$, где $n$ — это количество точек. Для этого мы используем формулу для сочетаний $C_n^2$, которая позволяет найти количество способов выбрать 2 элемента из $n$ без учета порядка.

Формула для числа сочетаний $C_n^k$ выглядит следующим образом:

$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!}$$

где:

• $n$ — общее количество объектов (в данном случае количество точек),
• $k$ — количество объектов, которые нужно выбрать (в данном случае 2, так как нужно выбрать 2 точки),
• $n!$ — факториал числа $n$, который равен произведению всех чисел от 1 до $n$.

Теперь давайте поочередно решим оба случая.

Задача 1: 16 точек

Шаг 1: Применим формулу для сочетаний.

Нам нужно выбрать 2 точки из 16. По формуле для сочетаний это будет:

$$C_{16}^2 = \frac{16!}{2! \cdot (16 — 2)!} = \frac{16!}{2! \cdot 14!}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Теперь упростим факториалы. Поскольку $16! = 16 \cdot 15 \cdot 14!$, мы можем сократить $14!$ в числителе и знаменателе:

$$C_{16}^2 = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{2! \cdot 14!} = \frac{16 \cdot 15}{2!}$$

Далее, $2! = 2$, поэтому:

$$C_{16}^2 = \frac{16 \cdot 15}{2} = \frac{240}{2} = 120$$

Ответ для задачи 1: 120 различных отрезков.

Задача 2: 13 точек

Шаг 1: Применим формулу для сочетаний.

Нам нужно выбрать 2 точки из 13. По формуле для сочетаний это будет:

$$C_{13}^2 = \frac{13!}{2! \cdot (13 — 2)!} = \frac{13!}{2! \cdot 11!}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Теперь упростим факториалы. Поскольку $13! = 13 \cdot 12 \cdot 11!$, мы можем сократить $11!$ в числителе и знаменателе:

$$C_{13}^2 = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11!}{2! \cdot 11!} = \frac{13 \cdot 12}{2!}$$

Далее, $2! = 2$, поэтому:

$$C_{13}^2 = \frac{13 \cdot 12}{2} = \frac{156}{2} = 78$$

Ответ для задачи 2: 78 различных отрезков.