ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1082 Алимов — Подробные Ответы

Сколько различных аккордов, содержащих: 1) 4 звука; 2) 3 звука, можно образовать из 12 клавиш одной октавы?

Способы из 12 клавиш одной октавы составить аккорд, содержащий:

1. Четыре звука:
   $C_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)! \cdot 4!} = \frac{12!}{8! \cdot 4!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 3 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 3 = 495;$
   Ответ: 495 способов.
2. Три звука:
   $C_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)! \cdot 3!} = \frac{12!}{9! \cdot 3!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 3 \cdot 2} = 4 \cdot 11 \cdot 5 = 220;$
   Ответ: 220 способов.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для сочетаний $C_n^k$, так как в данном случае нам нужно выбрать $k$ звуков (клавиш) из $n$ доступных клавиш. Мы будем искать количество способов выбрать 4 или 3 клавиши из 12 возможных.

Формула для числа сочетаний $C_n^k$ выглядит следующим образом:

$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!}$$

где:

• $n$ — общее количество объектов (в данном случае 12 клавиш),
• $k$ — количество объектов, которые нужно выбрать (в данном случае 3 или 4 клавиши),
• $n!$ — факториал числа $n$, который равен произведению всех чисел от 1 до $n$,
• $k!$ — факториал числа $k$,
• $(n — k)!$ — это факториал разности $n$ и $k$.

Теперь давайте подробно решим обе части задачи.

Задача 1: Сколько различных аккордов, содержащих 4 звука, можно образовать из 12 клавиш?

Шаг 1: Используем формулу сочетаний.

Нам нужно выбрать 4 клавиши из 12. Для этого применяем формулу сочетаний $C_{12}^4$:

$$C_{12}^4 = \frac{12!}{4! \cdot (12 — 4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Теперь давайте упростим факториалы. Поскольку $12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!$, мы можем сократить $8!$ в числителе и знаменателе:

$$C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4!}$$

Далее, $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$, поэтому:

$$C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{24}$$

Шаг 3: Упростим результат.

Теперь вычислим:

$$C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{24} = \frac{11880}{24} = 495$$

Ответ для задачи 1: 495 способов.

Задача 2: Сколько различных аккордов, содержащих 3 звука, можно образовать из 12 клавиш?

Шаг 1: Используем формулу сочетаний.

Теперь нам нужно выбрать 3 клавиши из 12. Для этого применяем формулу сочетаний $C_{12}^3$:

$$C_{12}^3 = \frac{12!}{3! \cdot (12 — 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Теперь упростим факториалы. Поскольку $12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!$, мы можем сократить $9!$ в числителе и знаменателе:

$$C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3!}$$

Далее, $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, поэтому:

$$C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6}$$

Шаг 3: Упростим результат.

Теперь вычислим:

$$C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} = \frac{1320}{6} = 220$$

Ответ для задачи 2: 220 способов.