ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1075 Алимов — Подробные Ответы

В классе 20 человек. Сколькими способами из их числа можно сделать назначение: 1) физорга и культорга; 2) физорга, культорга и казначея?

В классе 20 человек, сколько существует способов выбрать:

1) Физорга и культургера (размещение 20 человек по два):

$$A_{20}^2 = 20 \cdot 19 = 380;$$

Ответ: 380 способов.

2) Физорга, культургера и казначея (размещение 20 человек по три):

$$A_{20}^3 = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840;$$

Ответ: 6840 способов.

Перестановка — это способ выбора и упорядочивания $r$ объектов из $n$ возможных объектов, где порядок важен. Формула для расчета перестановок $A_n^r$ выглядит так:

$$A_n^r = \frac{n!}{(n — r)!}$$

где:

• $A_n^r$ — это количество способов выбрать и расставить $r$ объектов из $n$ объектов.
• $n!$ — это факториал числа $n$, то есть произведение всех чисел от 1 до $n$.
• $(n — r)!$ — это факториал разницы $n$ и $r$, который отвечает за количество оставшихся объектов.

Пример 1: Физорг и культорг (размещение 20 человек по два)

Задача состоит в том, чтобы выбрать двух человек из 20 для назначения на должности физорга и культоргера. Здесь нам важно, кто будет физоргом, а кто — культоргом, то есть порядок выбора имеет значение.

Шаг 1: Определим, сколько способов выбрать двух человек из 20 с учетом порядка.

Для того чтобы выбрать первого человека (физорга), у нас есть 20 вариантов. После того как физорг выбран, для назначения культоргера остается 19 человек. Таким образом, мы можем рассматривать задачу как выбор и упорядочивание двух человек:

$$A_{20}^2 = 20 \cdot 19$$

Шаг 2: Посчитаем количество способов.

$$A_{20}^2 = 20 \cdot 19 = 380$$

Ответ: 380 способов. То есть, существует 380 способов назначить физорга и культоргера среди 20 человек.

Пример 2: Физорг, культорг и казначей (размещение 20 человек по три)

Задача заключается в том, чтобы выбрать трех человек из 20 для назначения на должности физорга, культоргера и казначея. Опять же, порядок имеет значение, поскольку важно, кто займет какую из должностей.

Шаг 1: Определим, сколько способов выбрать трех человек из 20 с учетом порядка.

• Для первого выбора (физорга) у нас есть 20 вариантов.
• Для второго выбора (культоргера) остается 19 вариантов.
• Для третьего выбора (казначея) остается 18 вариантов.

Таким образом, общее количество способов выбрать и расставить трех человек из 20 будет равно:

$$A_{20}^3 = 20 \cdot 19 \cdot 18$$

Шаг 2: Посчитаем количество способов.

$$A_{20}^3=20\cdot 19=380$$

$$A_{20}^3 = 20 \cdot 19 = 380$$ $$380 \cdot 18 = 6840$$

Ответ: 6840 способов. То есть, существует 6840 способов назначить физорга, культоргера и казначея среди 20 человек.