ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1073 Алимов — Подробные Ответы

В классе изучают 8 предметов естественно-математического цикла. Сколькими способами можно составить расписание на пятницу, если в этот день должны быть:

1. 5 уроков из пяти разных предметов этого цикла;
2. 6 уроков из шести разных предметов этого цикла.

Изучают восемь предметов, сколько способов составить расписание:

1. Если должно быть пять уроков из пяти различных предметов:
   $A_8^5 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 6720;$
   Ответ: 6720 способов.
2. Если должно быть шесть уроков из шести различных предметов:
   $A_8^6 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 20160;$
   Ответ: 20160 способов.

Важные замечания:

• У нас есть 8 различных предметов естественно-математического цикла.
• Расписание должно быть составлено для пятницы.
• Каждый урок соответствует одному предмету, и все предметы, которые будут выбраны, должны быть различными.
• Порядок уроков имеет значение, так как разные предметы могут быть расставлены в разных местах расписания.

Для того чтобы найти количество способов составить расписание, нам нужно посчитать перестановки — количество способов выбрать и упорядочить несколько элементов из множества. Формула для перестановок с $r$ объектами из $n$ объектов выглядит так:

$$A_n^r = \frac{n!}{(n — r)!}$$

где:

• $A_n^r$ — это количество способов выбрать и расставить $r$ объектов из $n$ объектов.
• $n!$ — факториал числа $n$, то есть произведение всех чисел от 1 до $n$.
• $(n — r)!$ — это факториал разности $n$ и $r$, который отвечает за количество оставшихся объектов.

1) 5 уроков из пяти разных предметов этого цикла

Здесь нам нужно выбрать 5 уроков из 5 различных предметов. Мы не можем повторять предметы, поэтому каждый из 5 уроков будет связан с уникальным предметом. Порядок уроков имеет значение, поскольку мы составляем расписание, а не просто выбираем предметы.

Для составления расписания:

• Для первого урока у нас есть 8 вариантов предметов.
• Для второго урока — 7 оставшихся вариантов.
• Для третьего урока — 6 оставшихся вариантов.
• Для четвертого урока — 5 оставшихся вариантов.
• Для пятого урока — 4 оставшихся варианта.

Таким образом, общее количество способов выбрать и расставить 5 уроков из 8 предметов будет равно:

$$A_8^5 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4$$

Теперь вычислим это произведение:

$$A_8^5=8\cdot 7=56$$

$$A_8^5 = 8 \cdot 7 = 56$$ $$56\cdot 6=336$$

$$56 \cdot 6 = 336$$ $$336\cdot 5=1680$$

$$336 \cdot 5 = 1680$$ $$1680 \cdot 4 = 6720$$

Ответ: 6720 способов.

2) 6 уроков из шести разных предметов этого цикла

В этом случае нам нужно выбрать 6 уроков из 6 различных предметов. Порядок уроков снова имеет значение, так как мы составляем расписание.

Для составления расписания:

• Для первого урока у нас есть 8 вариантов предметов.
• Для второго урока — 7 оставшихся вариантов.
• Для третьего урока — 6 оставшихся вариантов.
• Для четвертого урока — 5 оставшихся вариантов.
• Для пятого урока — 4 оставшихся варианта.
• Для шестого урока — 3 оставшихся варианта.

Таким образом, общее количество способов выбрать и расставить 6 уроков из 8 предметов будет равно:

$$A_8^6 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3$$

Теперь вычислим это произведение:

$$A_8^6=8\cdot 7=56$$

$$A_8^6 = 8 \cdot 7 = 56$$ $$56\cdot 6=336$$

$$56 \cdot 6 = 336$$ $$336\cdot 5=1680$$

$$336 \cdot 5 = 1680$$ $$1680\cdot 4=6720$$

$$1680 \cdot 4 = 6720$$ $$6720 \cdot 3 = 20160$$

Ответ: 20160 способов.