ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1072 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. A 1/4;
2. A 1/5;
3. A 2/5;
4. A 2/4;
5. A 7/7;
6. A 6/6;
7. A 3/10;
8. A 3/8.

1. $A_4^1 = 4$;
2. $A_5^1 = 5$;
3. $A_5^2 = 5 \cdot 4 = 20$;
4. $A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12$;
5. $A_7^7 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$;
6. $A_6^6 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$;
7. $A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$;
8. $A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

Каждое из выражений представляет собой перестановки с ограничением, где мы выбираем $r$ объектов из $n$ объектов и размещаем их в определенном порядке. Формула для перестановок с $r$ объектами из $n$ объектов выглядит так:

$$A_n^r = \frac{n!}{(n — r)!}$$

где:

• $A_n^r$ — это количество способов выбрать и расставить $r$ объектов из $n$ объектов.
• $n!$ — это факториал числа $n$, то есть произведение всех чисел от 1 до $n$.

Теперь давайте рассмотрим каждую из задач.

1) $A_4^1 = 4$

Здесь мы выбираем 1 объект из 4 доступных объектов и размещаем его. Так как нас интересует только один объект, просто можем выбрать один из 4 доступных объектов. Это означает, что:

$$A_4^1 = 4!$$

Но так как нам нужно выбрать всего один объект, то:

$$A_4^1 = 4.$$

Ответ: 4 способа.

2) $A_5^1 = 5$

Здесь аналогично предыдущему случаю. Мы выбираем 1 объект из 5 доступных и размещаем его. Количество способов выбрать и расставить один объект из 5:

$$A_5^1 = 5.$$

Ответ: 5 способов.

3) $A_5^2 = 5 \cdot 4 = 20$

Здесь мы выбираем 2 объекта из 5 и размещаем их. Для первого объекта у нас есть 5 вариантов, а для второго — уже 4, так как мы уже выбрали один объект. Это просто последовательное умножение:

$$A_5^2 = 5 \cdot 4 = 20.$$

Ответ: 20 способов.

4) $A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12$

Здесь аналогичная ситуация. Мы выбираем 2 объекта из 4 и расставляем их. Для первого объекта 4 варианта, для второго — 3, так как один объект уже выбран:

$$A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12.$$

Ответ: 12 способов.

5) $A_7^7 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$

Здесь мы выбираем и расставляем все 7 объектов из 7 доступных. Для первого объекта — 7 вариантов, для второго — 6, для третьего — 5 и так далее. Количество способов расставить все 7 объектов — это просто факториал числа 7:

$$A_7^7 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040.$$

Ответ: 5040 способов.

6) $A_6^6 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

Здесь мы расставляем все 6 объектов из 6 доступных. Количество способов расставить все 6 объектов — это факториал числа 6:

$$A_6^6 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720.$$

Ответ: 720 способов.

7) $A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

Здесь мы выбираем и расставляем 3 объекта из 10. Для первого объекта — 10 вариантов, для второго — 9, для третьего — 8. Это просто последовательное умножение:

$$A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720.$$

Ответ: 720 способов.

8) $A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

Здесь мы выбираем и расставляем 3 объекта из 8. Для первого объекта — 8 вариантов, для второго — 7, для третьего — 6. Это последовательное умножение:

$$A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336.$$

Ответ: 336 способов.