ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1068 Алимов — Подробные Ответы

Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове: 1) гипотенуза; 2) треугольник?

Способы составить слово перемещая буквы в слове:

1) Гипотенуза (10 букв):

$$P_{10}=10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=3628800;$$

Ответ: 3 628 800 слов.

2) Треугольник (11 букв):

$$P_{11}=11!=11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=39916800;$$

Ответ: 39 916 800 слов.

Чтобы найти, сколько различных „слов“ (то есть перестановок букв) можно получить из исходного слова, нужно рассмотреть перестановки с повторениями.

• Пусть в слове всего $n$ символов.
• Пусть буква $A_1$ встречается $n_1$ раз, буква $A_2$ — $n_2$ раз, …, буква $A_k$ — $n_k$ раз, где $n_1+n_2+\dots+n_k=n$.
• Тогда число разных перестановок равно

$$N=\frac{n!}{n_1!\,n_2!\,\dots n_k!}.$$

Если все буквы разные ($n_i=1$ для каждой буквы), знаменатель равен $1$ и $N=n!$.

Ниже пошагово применим эту формулу к каждому слову.

1) «гипотенуза»

Ответ: $3\,628\,800$ разных слов.

2) «треугольник»

Обратите внимание: мягкий знак ь — это отдельный символ, поэтому его учитываем наравне с другими буквами.

Ответ: $39\,916\,800$ разных слов.

Таким образом, при перестановке всех букв без ограничений можно получить

• 3 628 800 различных слов из слова «гипотенуза»;
• 39 916 800 различных слов из слова «треугольник».