ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1057 Алимов — Подробные Ответы

Сколько существует шестизначных чисел, в которых все цифры, стоящие на чётных местах, различны?

Всего шестизначных цифр, в которых четные цифры различны:

• $N_1 = 9$ — вариантов выбора первой цифры (без нуля);
• $N_2 = 10$ — вариантов выбора второй цифры;
• $N_3 = 10$ — вариантов выбора третьей цифры;
• $N_4 = 9$ — вариантов выбора четвертой цифры;
• $N_5 = 10$ — вариантов выбора пятой цифры;
• $N_6 = 8$ — вариантов выбора шестой цифры;

$A = 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 8 = 648\,000$;

Ответ: 648 000.

Позиции чисел:

• Первая цифра (позиция 1): Может быть любым числом от 1 до 9 (без нуля), так как это шестизначное число.
• Вторая цифра (позиция 2): Может быть любым числом от 0 до 9, но если эта цифра чётная, она должна быть уникальной.
• Третья цифра (позиция 3): Может быть любым числом от 0 до 9, без ограничений.
• Четвёртая цифра (позиция 4): Может быть любым числом от 0 до 9, но если эта цифра чётная, она должна быть уникальной.
• Пятая цифра (позиция 5): Может быть любым числом от 0 до 9, без ограничений.
• Шестая цифра (позиция 6): Может быть любым числом от 0 до 9, но если эта цифра чётная, она должна быть уникальной.

Шаг 1: Размещение первой цифры

Первая цифра не может быть равна нулю, так как это шестизначное число. Таким образом, для первой цифры у нас есть 9 возможных вариантов (от 1 до 9):

$$N_1 = 9$$

Шаг 2: Размещение второй цифры (чётная цифра)

На второй позиции может стоять любая цифра от 0 до 9. Если эта цифра чётная, то она должна быть уникальной. Чётные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8. Таким образом, для второй позиции мы имеем 10 вариантов, но поскольку чётные цифры должны быть различными, для второй позиции остаётся 9 вариантов:

$$N_2 = 10$$

Шаг 3: Размещение третьей цифры

На третьей позиции может быть любая цифра от 0 до 9, без ограничений. Для третьей цифры будет 10 вариантов:

$$N_3 = 10$$

Шаг 4: Размещение четвёртой цифры (чётная цифра)

Для четвёртой позиции цифра может быть любая, но если это чётная цифра (0, 2, 4, 6, 8), она должна быть уникальной и отличной от той, которая уже стоит на второй позиции. После того как мы выбрали цифру для второй позиции, для четвёртой остаётся 9 возможных вариантов. Однако для четвёртой цифры остаётся 9 вариантов, включая уникальность:

$$N_4 = 9$$

Шаг 5: Размещение пятой цифры

Для пятой позиции цифра может быть любая из 0 до 9, без ограничений. Для пятой цифры будет 10 вариантов:

$$N_5 = 10$$

Шаг 6: Размещение шестой цифры (чётная цифра)

Для шестой позиции цифра может быть любая, но если эта цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8), она должна быть уникальной и отличной от тех, которые уже выбраны на второй и четвёртой позициях. Для шестой позиции остаётся 8 возможных вариантов, поскольку нам нужно исключить уже использованные чётные цифры:

$$N_6 = 8$$

Шаг 7: Применение принципа умножения

Теперь, чтобы найти общее количество различных шестизначных чисел, мы умножаем количество вариантов для каждой позиции:

$$A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 \cdot N_4 \cdot N_5 \cdot N_6$$

Подставляем наши значения:

$$A = 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 8$$

Шаг 8: Вычисление результата

Теперь произведём умножение:

$$A=9\cdot 10=90$$

$$A = 9 \cdot 10 = 90$$ $$A=90\cdot 10=900$$

$$A = 90 \cdot 10 = 900$$ $$A=900\cdot 9=8100$$

$$A = 900 \cdot 9 = 8100$$ $$A=8100\cdot 10=81000$$

$$A = 8100 \cdot 10 = 81\,000$$ $$A = 81\,000 \cdot 8 = 648\,000$$

Ответ: $\boxed{648\,000}$