ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1032 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить работу, которую нужно затратить при растяжении пружины на 8 см, если сила в 3 Н растягивает пружину на 1 см.

Сила сжатия пружины:

$$F=kx,\text{ отсюда }k=\frac{F}{x};$$

Значение постоянной $k$:

$$k=\frac{3}{\mathrm{0,01}}=300;$$

Работа, требуемая для сжатия пружины на 3 см:

$$A={\int }_0^{\mathrm{0,08}}300xdx={(300\cdot \frac{x^2}{2})}_0^{\mathrm{0,08}}=150x^2{\mid }_0^{\mathrm{0,08}};$$$$A=150\cdot {\mathrm{0,08}}^2-150\cdot 0^2=150\cdot \mathrm{0,0064}=\mathrm{0,96}\text{Дж};$$

Ответ: $\mathrm{0,96}\text{Дж}\mathrm{.}$

Условие задачи:

Сила в 3 Н растягивает пружину на 1 см.
Нужно найти работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть эту пружину на 8 см.

Шаг 1. Закон Гука — формула силы пружины

Закон Гука описывает зависимость силы упругости от удлинения:

$$F=kx,$$

где:

• $F$ — сила упругости (в ньютонах),
• $x$ — удлинение (в метрах),
• $k$ — жёсткость пружины (в Н/м).

Шаг 2. Найдём жёсткость пружины $k$

По условию:
при $x=1\text{см}=\mathrm{0,01}\text{м}$, сила $F=3\text{Н}$.

Подставим в формулу:

$$k=\frac{F}{x}=\frac{3}{\mathrm{0,01}}=300\text{Н/м}\mathrm{.}$$

Шаг 3. Запишем формулу работы

Работа $A$, совершаемая при растяжении пружины от 0 до $x$, находится по формуле:

$$A={\int }_0^{x}F(x)dx={\int }_0^{x}kxdx\mathrm{.}$$

Шаг 4. Подставим известные значения

• $k=300$ Н/м,
• Требуется растянуть пружину на $8\text{см}=\mathrm{0,08}\text{м}$.

$$A={\int }_0^{\mathrm{0,08}}300xdx\mathrm{.}$$

Вынесем постоянный коэффициент:

$$A=300\cdot {\int }_0^{\mathrm{0,08}}xdx\mathrm{.}$$

Шаг 5. Вычислим интеграл

$$\int xdx=\frac{x^2}{2}\mathrm{.}$$

Тогда:

$$A=300\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right){\mid }_0^{\mathrm{0,08}}=150\cdot x^2{\mid }_0^{\mathrm{0,08}}\mathrm{.}$$

Шаг 6. Подставим пределы

$$A=150\cdot ({\mathrm{0,08}}^2-0^2)=150\cdot \mathrm{0,0064}=\mathrm{0,96}\text{Дж}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{0,96}\text{Дж}}}$$