ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1031 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить работу, которую нужно затратить при сжатии пружины на 3 см, если сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см.

Сила сжатия пружины:

$$F = kx, \text{ отсюда } k = \frac{F}{x};$$

Значение постоянной $k$:

$$k = \frac{2}{0{,}01} = 200;$$

Работа, требуемая для сжатия пружины на 3 см:

$$A = \int_{0}^{0{,}03} 200x \, dx = \left( 200 \cdot \frac{x^2}{2} \right)_{0}^{0{,}03} = 100x^2 \bigg|_{0}^{0{,}03};$$ $$A = 100 \cdot 0{,}03^2 — 100 \cdot 0^2 = 100 \cdot 0{,}0009 = 0{,}09 \, \text{Дж};$$

Ответ: $0{,}09 \, \text{Дж}.$

Условие задачи:

Сила в 2 Н сжимает пружину на 1 см, требуется найти работу, которую нужно затратить для сжатия этой пружины на 3 см.

Шаг 1: Закон Гука — сила упругости пружины

Сила упругости пружины описывается законом Гука:

$$F = kx,$$

где:

• $F$ — сила (в ньютонах),
• $x$ — удлинение или сжатие пружины (в метрах!),
• $k$ — жёсткость пружины (в Н/м).

Шаг 2: Переведём 1 см в метры

$$x = 1\,\text{см} = 0{,}01\,\text{м}.$$

Шаг 3: Найдём жёсткость пружины $k$

Из закона Гука:

$$k = \frac{F}{x} = \frac{2}{0{,}01} = 200\,\text{Н/м}.$$

Шаг 4: Формула работы при сжатии пружины

Работа $A$, совершаемая при сжатии или растяжении пружины, равна:

$$A = \int_{0}^{x} F(x)\,dx.$$

Так как сила изменяется линейно ($F = kx$), подставим:

$$A = \int_{0}^{x} kx\,dx.$$

Шаг 5: Подставим $k = 200$, а $x = 0{,}03\,\text{м}$ (3 см в метрах)

$$A = \int_{0}^{0{,}03} 200x\,dx.$$

Вынесем константу:

$$A = 200 \int_{0}^{0{,}03} x\,dx.$$

Шаг 6: Вычислим интеграл

$$\int x\,dx = \frac{x^2}{2},\quad \text{значит:}$$ $$A = 200 \cdot \left( \frac{x^2}{2} \right)\bigg|_{0}^{0{,}03} = 200 \cdot \frac{1}{2} \cdot (0{,}03)^2.$$ $$A = 100 \cdot (0{,}0009) = 0{,}09\,\text{Дж}.$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}09\,\text{Дж}}.$$

Пояснение:

• Пружина с жёсткостью $k = 200\,\text{Н/м}$ требует возрастающей силы при увеличении сжатия.
• Работа рассчитывается как площадь под графиком зависимости силы от смещения — это площадь треугольника, т.е. $\frac{1}{2}kx^2$.
• Переводим сантиметры в метры обязательно, чтобы единицы работы были в джоулях (Дж).

Финальный вывод:
Для сжатия данной пружины на 3 см потребуется затратить 0,09 Дж энергии.