ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1030 Алимов — Подробные Ответы

Масса радия, равная 1 г, через 10 лет уменьшилась до 0,999 г. Через сколько лет масса радия уменьшится до 0,5 г?

Количество вещества (грамм) в момент времени $t$ (лет):

$$C = m_0 = 1 \, (\text{г});$$ $$m(t) = C \cdot e^{-kt} = 1 \cdot e^{-kt} = e^{-kt};$$

Значение постоянной $k$:

$$m(10) = e^{-10k} = 0.999;$$ $$e^{-10k} = 0.999;$$ $$e^{-10k} = e^{\ln 0.999};$$ $$-10k = \ln 0.999, \quad \text{отсюда } k = -\frac{\ln 0.999}{10};$$

Масса вещества будет равна 0.5 грамм через:

$$m(t) = e^{\frac{\ln 0.999}{10} \cdot t} = 0.5;$$ $$e^{\frac{\ln 0.999}{10} \cdot t} = e^{\ln 0.5};$$ $$\frac{\ln 0.999}{10} \cdot t = \ln 0.5, \quad \text{отсюда } t = \frac{10 \ln 0.5}{\ln 0.999};$$ $$t \approx \frac{10 \cdot (-0.6931)}{-0.001} = 6931 \, \text{лет};$$

Ответ: $t = \frac{10 \ln 0.5}{\ln 0.999} \approx 6931 \, \text{лет}.$

Условие задачи:

Модель радиоактивного распада описывается формулой:

$$m(t) = C \cdot e^{-kt},$$

где:

• $m(t)$ — масса вещества в момент времени $t$ (в граммах),
• $C = m_0$ — начальная масса вещества,
• $k$ — положительная постоянная распада,
• $t$ — время (в годах),
• $e$ — основание натурального логарифма.

Шаг 1. Записать начальные условия

Начальная масса вещества:

$$C = m_0 = 1\,\text{г}.$$

Следовательно, функция принимает вид:

$$m(t) = 1 \cdot e^{-kt} = e^{-kt}.$$

Шаг 2. Найти постоянную $k$ по условию

Из условия:

$$m(10) = 0.999.$$

Подставим в уравнение:

$$m(10) = e^{-10k} = 0.999.$$

Шаг 3. Решим уравнение для $k$

Запишем уравнение:

$$e^{-10k} = 0.999.$$

Применим натуральный логарифм к обеим частям:

$$\ln(e^{-10k}) = \ln(0.999).$$

По свойству логарифма:

$$-10k = \ln(0.999).$$

Теперь выразим $k$:

$$k = -\frac{\ln(0.999)}{10}.$$

Это и есть значение постоянной распада.

Шаг 4. Найти время $t$, когда масса уменьшится до 0.5 г

Запишем уравнение:

$$m(t) = e^{-kt} = 0.5.$$

Подставим выражение для $k$, полученное ранее:

$$e^{\left( \frac{\ln 0.999}{10} \cdot t \right)} = 0.5.$$

(Заметим, что $k = -\frac{\ln 0.999}{10} \Rightarrow -kt = \frac{\ln 0.999}{10} \cdot t$).

Шаг 5. Решим уравнение для $t$

Преобразуем:

$$e^{\left( \frac{\ln 0.999}{10} \cdot t \right)} = 0.5.$$

Применим логарифм:

$$\frac{\ln 0.999}{10} \cdot t = \ln 0.5.$$

Выразим $t$:

$$t = \frac{10 \cdot \ln 0.5}{\ln 0.999}.$$

Шаг 6. Подставим численные значения

• $\ln 0.5 \approx -0.6931$
• $\ln 0.999 \approx -0.001$

Тогда:

$$t \approx \frac{10 \cdot (-0.6931)}{-0.001} = \frac{-6.931}{-0.001} = 6931.$$

Итоговый ответ:

$$t = \frac{10 \ln 0.5}{\ln 0.999} \approx 6931 \, \text{лет}.$$