ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1026 Алимов — Подробные Ответы

Скорость прямолинейно движущегося тела равна v (t) = 4t — t2. Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Тело движется по закону $v(t) = 4t — t^2$;

Время остановки тела:

$$4t — t^2 = 0;$$ $$t \cdot (4 — t) = 0;$$ $$t = 0 \text{ или } t = 4;$$

Пройденный путь:

$$S = \int_{0}^{4}(4t — t^2)\,dx = \left(4\cdot\frac{t^2}{2} — \frac{t^3}{3}\right)\bigg|_{0}^{4} = \left(2t^2 — \frac{t^3}{3}\right)\bigg|_{0}^{4};$$ $$S = 2\cdot4^2 — \frac{4^3}{3} — 2\cdot0^2 — \frac{0^3}{3} = 2\cdot16 — \frac{64}{3} = 32 — 21\frac{1}{3} = 10\frac{2}{3}\,(\text{м});$$

Ответ: $10\frac{2}{3}$ метров.

Исходные данные:

Тело движется со скоростью, описываемой законом:

$$v(t) = 4t — t^2$$

Шаг 1: Найдём время остановки тела

Тело останавливается, когда его скорость равна нулю. Запишем это условие математически:

$$v(t) = 0$$

Подставим исходную функцию скорости:

$$4t — t^2 = 0$$

Шаг 2: Решим уравнение $4t — t^2 = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$$t(4 — t) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

• $t = 0$
• $4 — t = 0 \Rightarrow t = 4$

Таким образом, тело останавливается в моменты времени:

$$t = 0\quad\text{и}\quad t = 4$$

Шаг 3: Вычислим пройденный телом путь

Путь, пройденный телом, находят с помощью интеграла от скорости по времени:

$$S = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$$

Подставим пределы интегрирования (от момента начала движения $t=0$ до остановки $t=4$):

$$S = \int_{0}^{4}(4t — t^2)\,dt$$

Шаг 4: Выполним интегрирование функции

Рассмотрим интеграл суммы и разности отдельно:

$$\int(4t — t^2)\,dt = 4\int t\,dt — \int t^2\,dt$$

Теперь вычислим интегралы отдельно:

• Первый интеграл:

$$4\int t\,dt = 4\cdot\frac{t^2}{2} = 2t^2$$

• Второй интеграл:

$$\int t^2\,dt = \frac{t^3}{3}$$

Таким образом, интеграл функции:

$$\int(4t — t^2)\,dt = 2t^2 — \frac{t^3}{3}$$

Шаг 5: Подставим пределы интегрирования от 0 до 4

Используем формулу Ньютона–Лейбница:

$$S = \left(2t^2 — \frac{t^3}{3}\right)\bigg|_{0}^{4}$$

Это означает:

$$S = \left(2\cdot4^2 — \frac{4^3}{3}\right) — \left(2\cdot0^2 — \frac{0^3}{3}\right)$$

Шаг 6: Выполним арифметические расчёты отдельно для каждого предела

• При $t = 4$:

$$2\cdot4^2 — \frac{4^3}{3} = 2\cdot16 — \frac{64}{3} = 32 — \frac{64}{3}$$

• При $t = 0$:

$$2\cdot0^2 — \frac{0^3}{3} = 0 — 0 = 0$$

Таким образом:

$$S = \left(32 — \frac{64}{3}\right) — 0$$

Шаг 7: Упростим и посчитаем итоговое значение

Переведём число $32$ к общему знаменателю $3$:

$$32 = \frac{96}{3}$$

Теперь вычислим:

$$S = \frac{96}{3} — \frac{64}{3} = \frac{32}{3}$$

Шаг 8: Переведём дробь в смешанное число для удобства

Дробь $\frac{32}{3}$ в виде смешанного числа:

$$\frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$$

Шаг 9: Запишем итоговый ответ

Получили пройденный путь тела:

$$S = 10\frac{2}{3}\,(\text{м})$$

$$S = 10\frac{2}{3}\,(\text{м})$$